E569– Comment faire table nette [** à la main]
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q₁ Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q₂ Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q₃ Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Solution proposée par Fabien Petitjean
Voici ma proposition de solution au problème E569.
Posons :
· Gn : la multiplication par « n » des pièces de la pile de Gauche.
· Dn : la multiplication par « n » des pièces de la pile de Droite.
· Sn : soustraire « n » pièces de chaque pile.
Q1. On commence par retirer 2013 pièces des deux tas. On se retrouve avec un tas de 2 pièces et un tas d’une pièce. On double le nombre de pièces de ce dernier et il ne reste qu’à retirer 2 pièces dans chaque tas.
Q2. Pour pouvoir nettoyer la table, il faut se retrouver dans une situation où les deux piles ont le même nombre de pièces.
Mais au départ, une pile possède un nombre pair de pièces (2014) et l’autre un nombre impair (2015). La multiplication par 3 ne change rien à la parité et la soustraction d’une même valeur aux deux ne peut pas non plus leur donner la même parité.
Il n’y a donc aucun moyen de nettoyer la table dans les conditions de Q2.
Q3.
Posons « m > n ».
1. Cas 1 : « m – n » est divisible par « k – 1 »
On commence par retirer « n – 1 » aux deux piles. On obtient « (q*(k – 1) + 1 , 1 ».
Il suffit alors d’appliquer « q » fois la séquence suivante pour obtenir deux piles de 1 pièce chacune : Dk S(k - 1)
On remarque que si on prend « k = 1 » alors on est toujours dans ce cas et donc, on peut toujours nettoyer la table.
2. Cas 2 : « m – n » n’est pas divisible par « k – 1 »
Posons alors « a = n % k » le reste de la division euclidienne de « n » par « k » et « b = m % k
».
Dans le cas 2, ces valeurs sont différentes. Montrons qu’aucune opération ne permet d’obtenir
« a = b » et donc qu’il est impossible d’avoir le même nombre de pièces dans les deux piles.
Puisque « k % (k – 1) = 1 », la multiplication d’une pile par « k » ne change ni « a » ni « b ».
Ensuite, si on retire une même valeur « p » à « n » et à « m », alors « a » et « b » seront
toujours différents.
En effet, si on note « q = p % (k – 1) », alors
« n – p = a – q [mod k – 1] » et « m – p = b – q [mod k – 1] »
On ajoute la même quantité à « a » et « b », ils sont donc toujours différents.
Conclusion : le nettoyage de la table n’est possible que si « m – n » est divisible par « k – 1 ».
