Enoncé E569 (Diophante) Comment faire table nette
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Question 1
Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ? Question 2
Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Question 3
Avec metnpièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on multiplie parkentier quelconque>1 le nombre de pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiersm, netk pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
On fait table nette en 3 temps : – enlever 2013 pièces de chaque pile,
– doubler la plus petite, ce qui l’amène à 2 pièces comme l’autre, – enlever les 2 pièces de chaque pile.
Question 2
Débarrasser est impossible, car les parités des nombres dans les deux piles sont toujours différentes (tripler revient à ajouter un nombre pair).
Question 3
La question 2 conduit à observer que le reste modulok−1 de la différence m− n des nombres des deux piles est un invariant : multiplier par k revient à ajouter un multiple dek−1. Une condition nécessaire pour tout débarrasser est donc quek−1 divise m−n.
Cette condition est suffisante.
Si par exemplem > n, soitm=n+ (k−1)q.
Si m < kn, n > q, enlever n−q pièces des deux piles ; multiplier par k le nombreq restant dans la petite pile ; il y a alors kq pièces dans chaque pile, et on peut tout débarrasser.
Si m = kn, multiplier par k le nombre n dans la petite pile, puis tout débarrasser.
Sim > kn,n < q, multiplier park le nombre de la petite pile qui devient n0 =kn; alors m=n0+ (k−1)q0 avecq0 =q−n >0. Répéter l’opération si nécessaire jusqu’à obtenir au moins m/k et au plus m dans la petite pile.
