Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q1 Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q2 Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q3 Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q1 : Il suffit d’enlever 2013 pièces dans chaque pile (il reste alors 1 et 2), de doubler la pile de 1 et d’enlever les 2 pièces restant dans chaque pile.
Q2 : La différence entre les deux piles est initialement impaire, la première opération n’y change rien, et la seconde non plus lorsque le multiplicateur (ici 3) est impair : il est donc impossible de l’annuler.
Q3 : Si m<n, la différence entre les deux piles évolue d’un multiple de k-1 : le problème est soluble si la différence n-m est divisible par k-1 : n-m=h(k-1).
Si m≥h, on enlève m-h pièces à chaque pile pour obtenir h et n-(m-h)=kh, puis on multiplie la première par k.
Si m<h, on commence par multiplier m par k : on obtient alors une différence égale à n-km=(h-m)(k-1) ; puis on reprend comme ci-dessus en remplaçant m par km et h par h-m...
