E569– Comment faire table nette [** à la main]
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q₁ Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q₂ Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q₃ Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁
On enlève 2013 pièces de chaque pile : il reste 1 et 2 pièces.
On double le nombre de pièce de la première pile : 2 et 2.
On enlève 2 pièces de chaque pile : table débarrassée ! Q₂
Partant d'un couple pair et impair, on remarque qu'à chaque étape, on ne peut se retrouver avec un couple de même parité.
On ne peut donc débarrasser la table.
Q₃
Une condition nécessaire et suffisante est m = n (mod k-1).
Supposons que nous ayons m = n + (k-1)p et n pièces initialement.
On enlève n-1 pièces de chaque pile : 1 + (k-1)p et 1.
On multiplie par k la deuxième pile : 1 + (k-1)p et k.
On enlève k-1 pièces de chaque pile : 1 + (k-1)(p-1) et 1.
... (on itère les 2 dernières actions jusqu'à parvenir à : 1 et 1)
Il ne reste plus qu'à enlever 1 pièce de chaque pile : table débarrassée !
Réciproquement à chaque étape, on remarque que l'écart entre les 2 piles reste congru à 0 modulo k-1 (invariant).
(x,y) => (kx,y) ou (x, ky) x-y = kx-y ou x-ky (mod k-1)
On ne peut donc débarrasser la table partant d'une situation initiale où cet écart ne serait pas un multiple de k-1.
