E569. Comment faire table nette **
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q1 Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q2 Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q3 Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on
multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q1 : Oui
Initialement : 2014 2015
Etape 1 : 1 2
Etape 2 : 2 2
Etape 3 : 0 0
Q2 : Non
Pour pouvoir vider la table il faut, qu'après un certain nombre d'opérations, les deux piles contiennent le même nombre de pièces; donc soient de même parité.
Initialement les deux piles sont de parités différentes et :
a) En enlevant le même nombre de pièces, les parités seront encore différentes.
b) m et 3m sont de même parité.
On ne se retrouvera jamais avec deux piles de même parité.
Q3 : Soit d=m−n ( mn )
Si k=x1 avec x diviseur de d alors cela est possible.
En effet : Soient k de cette forme ( k=x1 )
et les deux piles contenant m et n pièces ( mn ) Alors d=x⋅y
Initialement : n m=nd
Etape 1 : y yd=yx⋅y=y⋅1x
Etape 2 : y⋅1x y⋅1x
Etape 3 : 0 0
Montrons que k doit être de cette forme ( k=x1 avec x diviseur de d ) Soient deux piles contenant A et B pièces :
i) A−y et B−y auront encore la même différence.
ii) En multipliant une pile par k la différence ne change pas modulo k−1 : K⋅A – B = k−1⋅AA – B = A−B modulo k−1
Pour pouvoir vider la table, il faut donc que la différence initiale ( d=m−n ) soit nulle modulo k−1 c'est à dire :
d=0modk−1
=> d=⋅k−1
=> k=d
1
=> k est de la forme demandée.
