E569. Comment faire table netter
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q1 Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q2 Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q3 Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q1. Surement. Dans la premiere phase, on enlever 2013 piéces. On a 1 piéce dans la premiere pile, et 2 piéces dans la seconde. Puis doubler le nombre de pieces dans la premiere pile. Maintenant, enlever deux piéces de chaque pile, et voila.
Q2. Non. Notons a le nombre de piéces dans la premiere pile et b le nombre de piéces de seconde pile. La premiere operation ne change la parité de diference de nombre de pile. On observe que a−b≡1(mod 2) par la premiere operation. On a
3a−b≡a−b≡1(mod 2) or
a−3b≡a−b≡1(mod2) .
Mais 0̂≠ ̂1 , ce qui prouve l'imposibilite de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie .
Q3. La condition est
m−n⋮k−1
On enleve x pieces du chacune pile. Puis on a m−x et n−x pieces dans chacune pile. Supposons m < n. On a k⋅(m−x) pieces dans la premiere pile. Si
km−kx=n−x , on acheve. Ça conduit a
km−n=(k−1)x⇒km−m+m−n=(k−1)x⇒x=m+m−n k−1 .
