E569. Comment faire table nette
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q1 Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q2 Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q3 Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on
multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m,n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q1) [2014,2015]→[1,2] en enlevant 2013 pièces de chaque pile, puis [1,2]→[2,2]→[0,0]
Q2) Les nombres de pièces des deux piles sont de parité différentes, et cela persiste quand on effectue l'une ou l'autre des deux opérations permises. Les deux piles n'auront jamais le même nombre de pièces donc on ne pourra jamais faire table nette.
Q3) Si (m-n) = (k-1)p :
[m,n]→[m-n+p,p]→[m-n+p,kp]→[0,0] :
Si m-n est multiple de k-1 on peut faire table nette.
Au contraire si mod (k-1), (m-n) ≡ r ≠ 0,
m = n+(k-1)p+r, m-kn = (k-1)(p-n)+r, on a encore m-kn ≡ r ≠ 0
Le reste modulo (k-1) de la différence des nombres d'objets des deux piles est invariant par chacune des deux opérations. S'il n'est pas nul on ne pourra jamais faire table nette.
Pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie, il faut et suffit que les entiers m, n, k vérifient la condition suivante : k – 1 est diviseur de m – n.