A733 – Pesée(s) minimale(s) [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et forment une séquence unique. Les 74 autres pièces vraies ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Q₁ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins une pièce fausse.
Q₂ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses.
Solution proposée par Paul Lafourcade Soit n=1...100 la position des pièces.
On met 25 pièces sur chaque plateau: les pièces 1 à 25 sur le plateau gauche et les pièces 76 à 100 sur le plateau droit.
Si la balance penche du coté droit, une pièce au moins parmi celles du plateau gauche est mauvaise, et les 25 ensembles possibles de pièces mauvaises vont de (1...26) à (25...50); dans tous les cas possibles, ces
ensembles contiennent les pièces 25 et 26.
De même, par raisonnement symétrique, si le plateau penche à gauche, on en déduit que les pièces 75 et 76 sont mauvaises.
Si la balance est en équilibre, les 25 ensembles possibles de pièces mauvaises vont de (26...51) à (50...75).
Dans tous les cas, ces ensembles contiennent les pièces 50 et 51.
En une pesée on détermine donc deux pièces mauvaises.
