Semaine 5 (séances 25 et 26/10)

(1)

MODULES DE PLUS HAUT POIDS S ´ EANCES DU 25 ET 26/10

13. Modules de plus haut poids

13.1. Sous-algèbres de Borel et décomposition triangulaire. — ⁽⁵⁾ Soient g une C-algèbre de Lie de dimension finie semi-simple, h une sous- algèbre de Cartan, R le système de racines de (g,h), et R⁺ l’ensemble de racines positives correspondant au choix d’une base ∆. On rappelle que les

éléments de ∆ sont appelés lesracines simples.

On pose

n⁺= M

α∈R⁺

g_α, n⁻= M

α∈R⁺

g_−α;

ce sont deux sous-alg`ebres de Lie nilpotentes (puisque [g_α,g_β] ⊆ g_α+β). On pose aussi

b=h⊕n⁺;

on a [h,n⁺]⊆n⁺, et doncbest une sous-algèbre de Lierésolubledeg. De plus, on a l’égalité [h,n⁺] =n⁺, car [h_α, x_α] = 2x_α, pour toutα∈R⁺ etx_α∈g_α. Définition 13.1. — On dit queb est unesous-algèbre de Borel de g.

Remarque 13.2. — La définition «officielle» est la suivante. On dit qu’une sous-algèbre de Liecdegest une sous-algèbre de Borel si c’est une sous-algèbre de Lie résoluble maximale. On peut montrer que toutes les sous-algèbres de Borel sont conjuguées par Aut(g). D’autre part, on peut vérifier que notreb ci-dessus est bien une sous-algèbre résolublemaximale, donc une sous-algèbre de Borel au sens précédent. Par conjugaison, toutes les sous-algèbres de Borel sont de cette forme, donc sont obtenues en choisissant une sous-algèbre de

(5)Une correction.Dans la preuve du lemme 6.16 (Ch. II), remplacer la phrase apr`es«Ceci prouve (†).»par la suivante :«D’autre part, comme adsest la partie semi-simple de adx, il existe R∈K[X], sans terme constant, tel que ads = R(adx). Alors, adxf = Pf(ads) = Pf(R(adx)) est un polynˆome en adxsans terme constant.».

(2)

Cartan h puis un ensemble de racines positives R⁺ dans R = R(g,h). Pour tout cela, voir [BL7-8,§VIII.3, no. 3] ou [Hu,§16].

Définition 13.3(Décomposition triangulaire deg). — On obtient donc la d´e- composition suivante de g :

(4_g) g=n⁻⊕h⊕n⁺ =n⁻⊕b,

appelée décomposition triangulaire (probablement parce que dans le cas où g =sl_n et h= matrices diagonales de trace nulle, les sous-algèbres n⁻ et n⁺ correspondent aux matrices triangulaires inférieures et supérieures).

Définition 13.4(Décomposition triangulaire deU(g)). — D’après le théorème de PBW, on déduit de (4_g) que l’application de multiplication (u⁻, u⁰, u⁺)7→

u⁻u⁰u⁺ induit un isomorphisme deC-espaces vectoriels (4_U) φ: U(n⁻)⊗U(h)⊗U(n⁺)−→^∼ U(g);

de plus, c’est clairement un isomorphisme de U(n⁻)-modules, où U(n⁻) agit par multiplication à gauche sur lui-même et sur U(g).

13.2. Vecteurs et modules de plus haut poids. —

Définition 13.5(Lesb-modulesC_λ,λ∈h^∗). — Soit V un b-module de dimension finie. Commebest résoluble, il résulte du théorème de Lie 5.8 qu’il existe une forme linéaire λ∈b^∗, nulle sur l’algèbre dérivéeD(b), et un vecteur non nul v∈V, tels que

Xv=λ(X)v, ∀X∈b.

Or, on a vu plus haut que D(b) = n⁺, et comme b =h⊕n⁺, alors (b/n⁺)^∗ s’identifie àh^∗. Ceci conduit à la définition suivante. Pour toutλ∈h^∗, on note C_λ le b-module de dimension 1 sur lequel n⁺ agit par 0 et hvia λ. C’est un b-module simple, et d’après ce qui précède, toutb-module simplede dimension finie est de cette forme.

Définition 13.6(Vecteurs primitifs). — Soit V un g-module arbitraire. On dit que v∈V\ {0} est unvecteur primitif de poids λ∈h^∗ si

n⁺v= 0, Hv=λ(H)v, ∀H∈h, c.-`a-d., si v est un vecteur de poidsλpour h, annul´e par n⁺.

Soit maintenant V un g-module de dimension finie. Par restriction, V est un b-module donc contient au moins un vecteur primitifv_λ, de poids λ. Soit α∈R⁺. Alors, par restriction, V est aussi un module sur la sous-alg`ebre

sl_α=g_−α⊕Ch_α⊕g_α⊂g,

qui est isomorphe àsl₂. Commeg_αv_λ = 0, il résulte du théorème 1.48 que

(∗) λ(h_α)∈N.

(3)

Comme (λ, α^∨) = λ(h_α), on obtient que λ appartient `a l’ensemble P⁺ ci- dessous :

(1) P⁺ ={λ∈h^∗ |(λ, α^∨)∈N, ∀α∈∆}.

Remarque 13.7. — On peut montrer que, pour tout β ∈ R⁺, β^∨ s’´ecrit de fa¸con unique

β^∨ = X

α∈∆

m_β^∨_,α^∨α^∨, avec m_β^∨_,α^∨ ∈N.

Il en résulte que l’on a aussi l’égalité

(2) P⁺={λ∈h^∗ |(λ, β^∨)∈N, ∀β ∈R⁺}.

Définition 13.8(Poids dominants). — Les ´el´ements de P⁺ s’appellent lespoids dominants (relativement au choix dehet ∆).

Définition 13.9(Poids fondamentaux). — Notons (ω_α)_α∈∆ la base de h^∗ duale de la base (h_α)_α∈∆ de h. Donc, pour toutα, β ∈∆, on a :

(ω_α, β^∨) =ω_α(h_β) = (

1 siβ =α;

0 sinon.

Alors, lesω_αappartiennent àh^∗_R(cf.§8.1) et sont des poids dominants, appelés lespoids fondamentaux, et tout poids dominantλ∈P⁺s’écrit de fa¸con unique

λ= X

α∈∆

n_λ,αω_α,

avec n_λ,α = (λ, α^∨) ∈ N. (Donc, en langage savant, P⁺ est le mono¨ıde avec z´ero librement engendr´e par les ω_α,α∈∆.)

Remarque 13.10. — Soitρ= (1/2)P

β∈R⁺β, la demi-somme des racines posi- tives. Il r´esulte du lemme 11.5 que

ρ= X

α∈∆

ω_α.

Rappelons que si E est un espace vectoriel sur un corpsKde caractéristique nulle, un réseau de E est un sous-groupe engendré par une base de E sur K.

Définition 13.11(Réseaux des poids et des racines). — On appelle r´eseau des poids le sous-groupe de h^∗ engendr´e par les poids fondamentaux :

P = M

α∈∆

Zω_α⊂h^∗_R. On a donc

P ={λ∈h^∗ |(λ, α^∨)∈Z, ∀α∈∆}.

(4)

Alors P contient le système de racines R, et l’on note Q le sous-réseau engendré par la base ∆, c.-à-d.,

Q = M

α∈∆

Zα.

Enfin, on note Q⁺ le sous-mono¨ıde avec zéro engendré (librement) par ∆, c.-à-d.,

Q⁺=M

α∈N

Nα.

Remarque 13.12. — On a Q⁺ ⊂ Q⊆ P ⊂h^∗_R, mais attentionQ⁺ n’est pas contenu dans P⁺. (On pourra dessiner, par exemple, les cˆones entiers P⁺ et Q⁺ pour les types A₂ et B₂.)

Proposition 13.13. — Pour l’action adjointe dehsurU(g),U(n⁻)est un sous- module qui se d´ecompose comme suit en somme directe d’espaces de poids :

U(n⁻) = M

γ∈Q⁺

U(n⁻)_−γ.

De plus, pour tout γ ∈ Q⁺, on a dim U(n⁻)_−γ < ∞, et U(n⁻)₀ ´egale C·1, donc est de dimension 1.

D´emonstration. — Num´erotons de fa¸con arbitraire les racines positives : R⁺={β₁, . . . , β_N},

et notons Y_i un vecteur non nul deg_−β_i. Alors, d’après le théorème de PBW, les monômes

Y^ν := Y^ν₁¹· · ·Y^ν_N^N, ν = (ν₁, . . . , ν_N)∈N^N, forment une base de U(n⁻). Pour tout h∈h, on a

[h,Y^ν] = XN

i=1

Y^ν₁¹· · ·[h,Y^ν_iⁱ]· · ·Y_N^ν^N =− XN i=1

ν_iβ_i(h)Y^ν. Comme R⁺⊂Q⁺, la premi`ere assertion en r´esulte.

Soit γ = P

α∈∆m_αα, avec m_α ∈ N, un élément fixé de Q⁺. Pour i = 1, . . . ,N, écrivonsβ_i =P

α∈∆n_i,αα. Alors, pourν ∈N^N, l’´egalit´e γ =

XN i=1

ν_iβ_i

est équivalente aux égalités

∀α∈∆, m_α= XN

i=1

ν_in_i,α,

(5)

puisque ∆ est une base de h^∗. Pour chaquei, il existe au moins un α∈∆ tel que n_i,α >1, et doncν_i 6m_α.

Ceci montre que les égalités ci-dessus ne sont vérifiées que pour un nombre fini deν, d’où dim U(n⁻)_−γ<∞. De plus, le poids 0 n’est obtenu que lorsque tous les ν_i sont nuls, c.-à-d., pour le monôme Y⁰ = 1. La proposition est démontrée.

Revenons à notre g-module V de dimension finie, qui contient donc un vecteur primitif v_λ de poidsλ∈P⁺, et supposons de plus V simple. Alors, V est égal au sous-module U(g)v_λ engendré parv_λ. Comme de plus

U(g) = U(n⁻)U(b) et U(b)v_λ=Cv_λ, on obtient que l’application

U(n⁻)−→V, u7→uv_λ,

est surjective. De plus, pour tout γ ∈ Q⁺ et u ∈ U(n⁻)_−γ, on a, pour tout h∈h,

huv_λ = (hu−uh)v_λ+uhv_λ = (λ−γ)(h)uv_λ.

Il en r´esulte que V se d´ecompose en espaces de poids (pour h) comme suit :

V = M

γ∈Q⁺

V_λ−γ, V_λ =Cv_λ.

Par conséquent,λest le plus haut (= plus grand) poids de V pour l’ordre par- tiel6surh^∗ défini ci-dessous, et de plus l’espace de poids V_λest de dimension 1, engendré par v_λ. On dit que v_λ est un vecteur de plus haut poids de V, et que V est un module de plus haut poidsλ.

Définition 13.14. — On munith^∗ de l’ordre partiel 6d´efini par µ⁰ 6µ⇔µ−µ⁰ ∈Q⁺.

Définition 13.15. — Soit M un g-module de dimension arbitraire. Pour tout µ∈h^∗, on pose

M_µ={m∈M|hm=µ(h)m, ∀h∈h}.

Si M_µ 6= 0, on dit que µ est un poids de M (et M_µ est l’espace de poids µ) ; on note Ω(M) l’ensemble des poids de M.

Si λest un élément maximal de Ω(M) pour 6et si v_λ ∈ M_λ\ {0}, on dit que v_λ est un vecteur de plus haut poids. Si M est engendrépar un vecteur de plus haut poidsλ, on dit que M est un moduleplus haut poids λ. Dans ce cas, on voit comme précédemment que

M = M

γ∈Q⁺

M_λ−γ et M_λ=Cv_λ.

(6)

(Donc, dans ce cas,«le» vecteur de plus haut poids est unique `a un scalaire pr`es.)

Remarque 13.16. — Attention, si M est un g-module arbitraire de dimension infinie, Ω(M) peut être vide, ou sans élément maximal. Toutefois, on a obtenu la proposition suivante.

Proposition 13.17. — Toutg-module simplede dimension finieVest un mo- dule de plus haut poids λ, pour un unique λ∈P⁺.

13.3. Modules de Verma. —

Définition 13.18. — Soit a une C-alg`ebre de Lie ab´elienne de dimension finie.

Una-module M est dit semi-simple s’il est somme de ses espaces de poids M_µ, pour µ∈a^∗, c.-`a-d., si l’on a

M = M

µ∈a^∗

M_µ (la somme est n´ecessairement directe).

Lemme 13.19. — Soient M un a-module semi-simple et N un sous-module de M. Alors N est semi-simple :

N = M

µ∈a^∗

N_µ.

D´emonstration. — Soit x ∈ N\ {0}. Il existe µ₁, . . . , µ_n ∈ a^∗, deux `a deux distincts, tels que

x=x₁+· · ·+x_n, x_i∈M_µ_i\ {0}.

Montrons par récurrence sur n que x_i ∈ N pour tout i. C’est clair si n= 1, donc on peut supposern >1 et le résultat établi pourn−1. Alors

P = Yn i=2

(µ_i−µ₁)

est un élément non nul, de degrén−1, de l’algèbre symétrique S(a^∗). Comme le corps de base C est infini, la fonction polynomiale h 7→ P(h) sur a n’est pas identiquement nulle, donc il existe h ∈ a tel que µ_i(h) 6= µ₁(h) pour i= 2, . . . , n.

Alors, N contient le vecteur (h−µ₁(h))x=

Xn i=2

(µ_i(h)−µ₁(h))x_i,

et d’après l’hypothèse de récurrence, on obtientx_i∈N pouri= 2, . . . , n, d’où aussix₁∈N.

(7)

Définition 13.20. — Soit λ∈h^∗. On d´efinit lemodule de Verma: M(λ) := U(g)⊗_U(b)C_λ.

On notev_λ le vecteur 1⊗_U(b)1. C’est un vecteur primitif de poidsλ. En effet, pour tout X∈b, on a :

Xv_λ= X⊗_U(b)1 = 1⊗_U(b)X·1 =λ(X)1⊗_U(b)1 =λ(X)v_λ. Donc M(λ), ´etant engendr´e par v_λ, est un module de plus haut poids λ.

Puisque U(g)∼= U(n⁻)⊗U(b), on a un isomorphisme de U(n⁻)-modules

(†) U(n⁻)−→^∼ M(λ), u7→uv_λ;

de plus on obtient, comme dans le paragraphe pr´ec´edent, un isomorphisme de h-modules :

M(λ)∼= U(n⁻)⊗C_λ,

o`u ⊗ d´esigne le produit tensoriel surC. En effet, pour γ ∈Q⁺,u ∈U(n⁻)_−γ eth∈h, on auhv_λ =λ(h)uv_λ ethu−uh=−γ(h)u, d’o`u :

huv_λ = (λ−γ)(h)v_λ. Par cons´equent, on a obtenu la proposition suivante.

Proposition 13.21. — On a : (∗)

( M(λ) =L

γ∈Q⁺M(λ)_λ−γ, M(λ)_λ =Cv_λ.

∀γ ∈Q⁺, dim M(λ)_λ−γ= dim U(n⁻)_−γ<∞.

En particulier, λ est l’unique plus haut poids deM(λ).

De plus, M(λ) est le module universel de plus haut poids λ, d’après le théorème suivant.

Théorème 13.22(Propriété universelle deM(λ)). — Soit Vun g-module etx∈ V \ {0} un vecteur primitif de poids λ. Il existe un unique morphisme de g-modules

φ: M(λ)−→V tel que φ(v_λ) =x.

En particulier, si V est un module de plus haut poids λ, alors φest surjectif.

Démonstration. — D’après la propriété universelle du produit tensoriel, on a un isomorphisme

Hom_U(g)(U(g)⊗_U(b)C_λ,V)−→^∼ Hom_U(b)(C_λ,V),

donné par ψ7→ ψ(1). Or, l’hypothèse que x soit un vecteur primitif de poids λéquivaut à dire que le sous-module U(b)xégaleCx. Il existe donc un unique morphisme de U(b)-modulesf :C_λ −→^∼ Cx tel que f(1) = x, et le théorème en découle.

(8)

Théorème 13.23(Les modules simplesL(λ)). — Le g-module M(λ) poss`ede un unique sous-module maximal, et donc un unique quotient simple, not´eL(λ).

Par cons´equent, L(λ) est l’uniqueg-module simple de plus haut poids λ.

D´emonstration. — D’apr`es le lemme 13.19, pour tout sous-module N de M(λ), on a

N =M

µ6λ

(N∩M(λ)_µ).

Comme, d’autre part, M(λ) est engendr´e par l’espace de poids M(λ)_λ =Cv_λ, alors pour tout sous-module propre N on a N∩M(λ)_λ = (0) donc N est contenu dansl’espace vectoriel

M(λ)_<λ:= M

γ∈Q⁺\{0}

M(λ)_λ−γ.

Par cons´equent, la somme S de tous les sous-modules propres est contenue dans cet espace vectoriel, donc est un sous-module propre, et c’est donc le plus grand sous-module propre. Donc S estl’unique sous-module maximal de M(λ), et L(λ) := M(λ)/S est l’unique quotient simple de M(λ).

Mieux, si V est ung-module simple engendré par un vecteurxde plus haut poids λ, alors d’après la propriété universelle de M(λ), il existe un unique morphisme de g-modules

φ: M(λ)−→V,

tel queφ(v_λ) =x. Comme V est simple,φest surjectif, d’o`u V ∼= M(λ)/Kerφ et Kerφest un sous-module maximal de M(λ). Donc Kerφ= S, et V ∼= L(λ).

Le théorème est démontré.

13.4. g-modules simples de dimension finie. —

Définition et proposition 13.24. — Soit α ∈ R⁺. Soit M un g-module qui est h-semi-simple :

M = M

µ∈h^∗

M_µ

et qui est sl_α-localement fini, c.-`a-d., tout v∈Mest contenu dans un sous- sl_α-module de dimension finie. Alors, l’ensemble Ω(M) des poids de M est stable par s_α, c.-`a-d.,

M_µ6= (0)⇔M_s_α_µ6= (0).

D´emonstration. — Soit µ ∈ Ω(M) et x ∈ M_µ\ {0}. Soit (e_α, f_α, h_α) la base standard desl_α et posons µ_α=µ(h_α) = (µ, α^∨).

(9)

Par hypothèse,xest contenu dans un sous-sl_α-module E de M, de dimension finie. D’après le théorème 3.8, il existen₁, . . . , n_r ∈N tels que :

(S) E =

Mr s=1

V_α(n_s),

où V_α(n) désigne lesl_α-module simple de dimensionn+1. On peut donc écrire x=x₁+· · ·+x_r, avec x_i∈V_α(n_i),

et les x_i non tous nuls. Comme la somme (S) est directe, l’´egalit´eh_αx=µ_αx entraˆıne h_αx_s = µ_αx_s pour tout s. Fixons un indice s tel que x_s 6= 0, et soit v₀ un vecteur primitif de V_α(n_s). Alors les vecteurs

v_i :=f_αⁱ v₀, i= 0, . . . , n_s

forment une base de V_α(n_s), et v´erifient h_αv_i = n_s−2i. De plus, x_s est un multiple non nul de l’unique v_i tel quen−2i=µ_α. Distinguons deux cas.

1) Siµ_α>0, alors

f_α^µ^αv_i =f_α^i+µ^αv₀ 6= 0,

puisque i+µ_α 62i+µ_α=n_s. Doncf_α^µ^αx est non nul, de poids µ−µ_αα=µ−(µ, α^∨)α=s_αµ.

Ceci prouve que V_s_α_µ6= (0) dans ce cas.

2) Supposonsµ_α=−m, avecm <0. En utilisant l’automorphisme θde sl₂ qui échange e et f et change h en −h, on peut récrire le théorème 1.48 sous la forme suivante :

Théorème 13.25. — Soit V(n) l’unique sl₂-module simple de dimension n.

Alors V(n) contient un vecteur w₀ de plus bas poids −n, annulé par f (et unique à un scalaire près), et les vecteurs

w_j :=e^jw₀, (de poids −n+ 2j), j= 0, . . . , n, forment une base de V(n).

Donc, lorsqueµ_α =−m <0, x_s est un multiple non nul de l’uniquew_j tel que −n_s+ 2j=µ_α =−m, c.-`a-d.,n_s=m+ 2j. Alors

e^m_α w_j =e^j+m_α w₀6= 0,

puisque j+m62j+m=n_s. Donce^m_αx est non nul, de poids µ+mα=µ−(µ, α^∨)α=s_αµ.

Ceci prouve que V_s_α_µ6= (0) dans le 2ème cas. La proposition 13.24 est démon- trée.

(10)

Remarque 13.26. — Ceci est la d´emonstration de [Dix, 7.2.4]. Pour une autre d´emonstration, utilisant l’automorphisme

(expρ(e_α))(expρ(−f_α))(expρ(e_α))∈GL(E),

où ρ : sl_α → End_C(E) est la représentation de sl_α dans E, voir [Hu], §21.2, points (5) et (6) ; ceci permet de montrer de plus que dim M_µ= dim M_s_α_µ. Proposition 13.27. — Soit M ung-module et soitα∈R⁺. Notons K_α le sous- espace deMformé des vecteursm qui sontsl_α-finis (c.-à-d., contenus dans un sous-sl_α-module de dimension finie). Alors, K_α est un sous-g-module de M.

En particulier, si Mest simple et si K_α6= 0, alors K_α= M.

Démonstration. — Soit v ∈ K_α Il suffit de montrer que Xv ∈ K_α pour tout X∈g. Par hypothèse,v est contenu dans un sous-sl_α-module E de dimension finie. Notons gE le sous-espace vectoriel engendré par les éléments Xe, pour X∈g ete∈E ; il est de dimension finie, car engendré par les élements X_je_i, où (X_j), resp. (e_i), est une base deg, resp. de E. De plus, gE est un sous-sl_α- module, car poury∈sl_α on a :

yXe= [y,X]e+ X(ye)∈gE.

La proposition est d´emontr´ee.

Théorème 13.28. — Soit λ∈h^∗. On a

dim L(λ)<∞ ⇔λ∈P⁺.

Démonstration. — On a déjà vu l’implication⇒. Montrons la réciproque. Soit λ∈P⁺. Soitv_λ le vecteur de plus haut poids de M(λ), et notonsv_λ son image dans L(λ). Notons Ω(L(λ)) l’ensemble des poids de L(λ). D’après la proposition 13.21, Ω(L(λ)) est contenu dansλ−Q⁺, et l’on a :

(1) ∀µ∈Ω(L(λ)), dim L(λ)_µ<∞.

Pour toutα∈∆, posonsn_α= (λ, α^∨)∈N, et w_α =f_αⁿ^α⁺¹v_λ. Soit β∈R⁺ tel que

λ−(n_α+ 1)α+β 6λ.

Alorsβ 6(n_α+ 1)α, et ceci entraˆıne que β =α. Ceci montre d´ej`a que g_βw_α = (0), ∀β∈R⁺\ {α}.

De plus, d’après un calcul déjà fait (voir (3) après le corollaire 1.46), on a e_αw_α = (n_α+ 1)f_αⁿ^α(h_α−n_α)v_λ = 0.

Ceci montre que w_α est un vecteur primitif de M(λ), de poids λ−(n_α+ 1)α.

(11)

Donc w_α engendre un sous-module propre de M(λ), donc est contenu dans l’unique sous-module maximal S de M(λ).

Par cons´equent, dans le quotient L(λ) = M(λ)/S, le sl_α-module engendr´e parv_λ a pour base les vecteurs

f_αⁱ v_λ, i= 0, . . . , n_α,

donc est de dimension finie. Il résulte alors des propositions 13.27 et 13.24 que Ω(L(λ)) est stable par s_α, pour tout α∈∆, donc est stable par W, d’après le théorème 11.8, point (3).

Soitν ∈Ω(L(λ)). D’après la démonstration du point (1) du théorème 11.8, il existe w∈W tel queµ:=w(ν) vérifie

(∗) (µ, α)>0, ∀α∈∆,

c.-à-d.,µappartient à l’adhérence C⁺de la chambre dominante C⁺= C⁺(∆).

(Prendre w ∈W tel que (w(ν), ρ) soit maximum.) D’après ce qui précède, µ appartient à Ω(λ) donc vérifie

µ=λ−X

α∈∆

m_αα, pour certains m_α ∈N. Alors,

(µ, µ) = (λ, λ)−X

α∈∆

m_α(λ+µ, α)

et comme λ∈P⁺ etµ ∈C⁺, ceci est 6 (λ, λ) (et on a l’´egalit´e seulement si µ=λ).

Comme λ−Q⁺ est un sous-ensemble discret de h^∗_R, son intersection avec la boule ferm´ee de centre 0 et de rayon kλk =p

(λ, λ) est un ensemble fini F. Comme tout poids de L(λ) est W-conjugué, d’après ce qui précède, à un

élément de F, on obtient que Ω(L(λ)) est aussi un ensemble fini (puisque W est fini). Enfin, comme chaque espace de poids de L(λ) est de dimension finie (d’après (1) plus haut), on obtient finalement que dim L(λ)<∞. Le théorème est démontré.

14. Réductibilité complète

14.1. Produits tensoriels et modules d’homomorphismes. — Dans ce paragraphe, soient kun corps et g une k-alg`ebre de Lie arbitraires. Soient M,N deux g-modules.

Définition 14.1. — Le produit tensoriel M⊗_kN est ung-module, pour l’action d´efinie par :

∀x∈g, m∈M, n∈N, x·(m⊗n) =xm⊗n+m⊗xn.

(12)

La v´erification, facile, est laiss´ee au lecteur.

Définition 14.2. — L’espace Hom_k(M,N) des applications k-lin´eaires M→ N est ung-module, pour l’action d´efinie par :

∀x∈g, φ∈Hom_k(M,N), m∈M, (x·φ)(m) =xφ(m)−φ(xm).

Alors, les k-morphimesg-invariants

Hom_k(M,N)^g ={φ∈Hom_k(M,N)|φ◦x=x◦φ, ∀x∈g}

sont précisément les morphismes deg-modules M→N, c.-à-d., on a : Hom_k(M,N)^g = Hom_g(M,N).

Remarque 14.3. — En particulier, pour N = le module trivial k, on retrouve la structure de g-module sur l’espace dual M^∗, introduite dans la d´efinition 1.17.

Rappelons que l’application naturelle

θ: M^∗⊗N−→Hom_k(M,N), qui `a tout tenseurP_r

i=1f_i⊗n_i associe l’application k-lin´eaire m7→

Xr i=1

f_i(m)n_i

est injective, et son image est formée des applications linéairesφ: M→ N de rang fini (c.-à-d., telles que dim_kφ(M)<∞). En particulier, si M ou N est de dimension finie surk, alorsθ est un isomorphisme de k-espaces vectoriels.

Remarque 14.4. — Supposons dim_kM<∞ et N = M. Soient (e₁, . . . , e_n) une base de M et (e^∗₁, . . . , e_n) la base duale de M^∗. Alors

(‡) θ(

Xn i=1

e^∗_i ⊗e_i) = id_M.

Lemme 14.5. — L’applicationθ : M^∗⊗_kN→Hom_k(M,N)est un morphisme deg-modules, donc un isomorphisme deg-modules siMouNest de dimension finie.

En particulier, si dim_kM <∞ et N = M et si (e₁, . . . , e_n) est une base de M et (e^∗₁, . . . , e_n) la base duale de M^∗, alors l’´element

Xn i=1

e^∗_i ⊗e_i∈M^∗⊗M est g-invariant et ne d´epend pas de la base choisie.

(13)

Démonstration. — Le premier point est une vérification facile, laissée au lec- teur. Pour le second point, l’élément en question est l’image inverse, par l’isomorphisme θ, de l’élément id_M∈End_k(M), d’où le résultat.

14.2. Élément de Casimir d’une C-algèbre de Lie semi-simple. — Désormais, soit g une C-algèbre de Lie semi-simple de dimension finie. On a vu (Théorème 6.18) que la forme de Killing K = K_g est non-dégénérée.

Soit (x_i) une base deget (y_i) la base duale pour la forme de Killing (c.-`a-d., K(x_i, y_j) =δ_ij).

Proposition 14.6. — K induit un isomorphisme deg-modules g−→^∼ g^∗. Par conséquent, l’élément

X

i

x_i⊗y_i ∈g⊗g

est g-invariant, et ne d´epend pas du choix de la base.

Démonstration. — Comme K est non-dégénérée, l’application linéaire K^#:g−→g^∗, x7→K(x,−)

est bijective. De plus, comme K estg-invariante, on a, pour tout x, y, z∈g, K^#([x, y])(z) = K([x, y], z) =−K(y,[x, z]) = (x·K^#(y))(z).

On a donc K^#(x·y) =x·K^#(y), et K^# est un isomorphisme deg-modules.

La seconde assertion d´ecoule alors du lemme 14.5.

Théorème 14.7. — L’´el´ement

C =X

i

x_iy_i∈U(g)

est central (c.-à-d.,uC = Cu pour tout u∈U(g))et ne dépend pas de la base choisie. On l’appelle l’élément de Casimir deU(g) (ou simplement de g).

Démonstration. — On considère U := U(g) comme g-module pour l’action adjointe, c.-à-d., X·u= Xu−uX, pour X∈g,u∈U. Alors l’application

φ:g⊗g−→U, x⊗y7→xy,

est un morphisme de g-modules. En effet, pour X, x, y∈g, on a φ(X·(x⊗y)) =φ([X, x]⊗y+x⊗[X, y])

= [X, x]y+x[X, y] = [X, xy].

D’après la proposition 14.6, l’élément P

ix_i⊗y_i est g-invariant et ne dépend pas de la base choisie, donc il en est de même pour son image par φ. Donc C commute à tout X∈ g, donc à tout u ∈ U puisque U est engendrée par g commeC-algèbre. Le théorème est démontré.

(14)

Proposition 14.8. — Pour toutλ∈h^∗, Cagit sur le module simpleL(λ) par le scalaire

(λ, λ) + X

β∈R⁺

(λ, β).

En particulier, si λ∈P⁺\ {0}, ceci est un r´eel >0.

D´emonstration. — Pour toutβ ∈R⁺, on choisit un vecteur non nul E_β ∈g_β, puis F_β ∈g_−β tel que K(E_β,F_β) = 1. Puis, soit (h_i)^`_i=1 une base arbitraire de h, et (hⁱ)^`_i=1 la base duale pour K|_h (c.-`a-d., K(h_i, h^j) =δ_ij). Alors, les bases

(E_β,F_β, h_i), (F_β,E_β, hⁱ)

sont duales l’une de l’autre, et donc l’´el´ement de Casimir est

C = X

β∈R⁺

(E_βF_β+ F_βE_β) + X` i=1

h_ihⁱ.

D’apr`es le lemme 8.10, on a [E_β,F_β] = H_β, o`u K(H_β,−) =β. Donc

C = 2 X

β∈R⁺

F_βE_β+ X

β∈R⁺

H_β + X`

i=1

h_ihⁱ.

Par cons´equent, C agit sur le vecteur de plus haut poids v_λ ∈ L(λ) par le scalaire

χ_λ(C) := X

β∈R⁺

λ(H_β) + X`

i=1

λ(h_i)λ(hⁱ).

Comme C est central dans U(g), et L(λ) = U(g)v_λ, alors C agit sur L(λ) par le scalaire χ_λ(C).

De plus, on a λ(H_β) = (λ, β). D’autre part, notons H_λ l’élément de h tel que K(H_λ,−) =λ, et écrivons

H_λ = X`

i=1

z_λ,ih_i.

Alorsz_λ,i = K(H_λ, hⁱ) =λ(hⁱ) et (λ, λ) =λ(H_λ) =

X` i=1

z_λ,iλ(h_i) = X`

i=1

λ(h_i)λ(hⁱ).

Comme 2ρ=P

β∈R⁺β, on obtient donc que χ_λ(C) = (λ, λ) + X

β∈R⁺

(λ, β) = (λ, λ+ 2ρ).

(15)

Si λ∈ P⁺\ {0}, alors λ∈ h^∗_R\ {0} donc (λ, λ) ∈ R^∗₊, et, d’autre part, pour toutβ ∈R⁺, on a

(λ, β) = (β, β)

2 (λ, β^∨)∈R₊. Ceci prouve la proposition.

14.3. Deux propriétés de g. — Les deux propriétés suivantes deg seront utiles dans le paragraphe suivant. (Elles auraient pu être énoncées bien avant, dans le chapitre III.)

Proposition 14.9. — 1) On a g=D(g); par cons´equent, l’unique g-module de dimension 1 est le module trivialC.

2) Si g⁰ 6= 0 est une algèbre de Lie quotient de g, alors g⁰ est semi-simple, donc contient au moins une sous-algèbre isomorphe à sl₂; en particulier, dimg⁰ >3.

D´emonstration. — On a g= L_n

i=1g_i, avec chaque g_i simple et [g_i,g_j] = (0) pour i6=j; lesg_i sont les id´eaux minimaux de g.

1) On a [g_i,g_i] = g_i, pour tout i, d’o`u [g,g] = g. Si K est un g-module de dimension 1, alorsgy agit par uncaractère, c.-à-d., un élémentλ∈g^∗ nul sur D(g). CommeD(g) =g, on a λ= 0 et K est le module trivialC.

2) Soient a un id´eal propre de g, et g⁰ = g/a. D’apr`es la proposition 6.4, a=L

i∈Ig_i, pour un certain sous-ensemblepropre I de{1, . . . , n}, et donc g⁰ ∼=M

j6∈I

g_j

est semi-simple. Enfin, on a vu que touteC-algèbre de Lie semi-simple contient au moins une sous-algèbresl_α∼=sl₂. La proposition est démontrée.

14.4. Le théorème de complète réductibilité. — On peut maintenant démontrer le théorème de complète réductibilité (ou semi-simplicité) de Weyl.

Il a d’abord été démontré de fa¸con analytique (intégration sur les groupes compacts et astuce unitaire) par Hermann Weyl en 1926. La première dé- monstration algébrique a été donnée par Casimir et van der Waerden en 1935.

Théorème 14.10. — Toutg-moduleVde dimension finie est semi-simple, donc somme directe de modules simples L(λ), pour λ∈P⁺.

D´emonstration. — Il suffit de montrer que toute suite exacte deg-modules de dimension finie :

(1) 0−→N−→E−→^π Q−→0

est scind´ee, c.-`a-d. :

(∗) il existe ung-morphisme σ: Q→E tel que π◦σ = id_Q.

(16)

En effet, ceci entraˆıne que E∼= N⊕Q, et ceci entraˆıne l’assertion du théorème par récurrence sur dim V. En effet, V contient un sous-module simple S, et le scindage de la suite exacte

0−→S−→V−→V/S−→0

entraˆıne V∼= S⊕(V/S), et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à V/S.

1ère réduction. La suite exacte (1) étant donnée, on obtient d’abord la suite exacte deg-modules ci-dessous :

(2) 0−→Hom_C(Q,N)−→Hom_C(Q,E)−→^π^∗ End_C(Q)−→0,

o`u π_∗(φ) = π◦φ. Consid´erant le sous-g-module trivial Cid_Q ⊆ End_C(Q) et son image inverse F par π_∗, on obtient la suite exacte deg-modules :

0−→Hom_C(Q,N)−→F−→^π^∗ Cid_Q−→0,

dont le scindage implique celui de (2). En effet, s’il existe τ : Cid_Q → F tel que

id_Q=π_∗(τ(id_Q)) =π◦τ(id_Q),

alors σ = τ(id_Q) appartient `a Hom_C(Q,E)^g = Hom_g(Q,E) et est un scindage de (2). Donc il suffit de montrer que toute suite exacte de g-modules de dimension finie de la forme :

(3) 0−→N−→F−→C−→0

est scind´ee.

2`eme r´eduction. Il suffit de montrer que toute suite exacte

(4) 0−→S−→F−→C−→0

est scindée ; ceci implique le scindage de toute suite exacte (3), en procédant par récurrence sur dim N. En effet, soit S un sous-module simple de N. Alors, d’une part, (3) donne la suite exacte

(3⁰) 0−→N/S−→F/S−→C−→0,

qui est scindée par hypothèse de récurrence (car dim(N/S)<dim N). Donc il existe un sous-module eS de F contenant S et tel queeS/S∼=Cet

F/S = (N/S)M (eS/S).

En particulier,eS∩N = S. D’autre part, on a la suite exacte 0−→S−→eS−→C−→0,

qui est scind´ee par (4). Donc eS contient un sous-module K ∼=C tel que eS = S⊕K. Alors

K∩N = K∩eS∩N = K∩S = (0),

(17)

et donc F = K⊕N et (3) est scind´ee par tout isomorphismeσ:C−→^∼ K. Ceci montre qu’il suffit de scinder toute suite exacte (4).

Remarque 14.11. — Si l’on connaˆıt le formalisme des Ext, l’argument précé- dent revient à dire que de la nullité de

Ext¹_g(N/S,C) et Ext¹_g(S,C)

on a déduit la nullité de Ext¹_g(N,C), ce qui résulte bien sûr de la suite exacte (longue)

· · · −→Ext¹_g(N/S,C)−→Ext¹_g(N,C)−→Ext¹_g(S,C)−→ · · · (Le foncteur Hom_g(−,C) estcontravariant.)

Il reste donc `a montrer que toute suite exacte

(5) 0−→L(λ)−→E−→C−→0,

où λ∈P⁺, est scindée. Notonsρ la représentation de g, et de U(g), dans E.

Siλ6= 0, alorsχ:=χ_λ(C) est non nul, et la matrice deρ(C) est de la forme ρ(C) =

µχid_L(λ) ∗

0 0

¶ .

Par cons´equent, l’espace propre E₀ de C pour la valeur propre 0 est de dimension 1, et l’on a

E = L(λ)⊕E₀

comme C-espaces vectoriels. Comme C est central, E₀ est un sous-g-module de E, de dimension 1. Donc, d’apr`es la proposition 14.9, C ∼= E₀, et le choix d’un tel isomorphisme fournit un scindage de (5).

Enfin, supposonsλ= 0. Alors, on a une suite exacte

(6) 0−→C−→E−→C−→0,

et dim E = 2. Alors, puisque g=D(g), d’apr`es la proposition 14.9, on a ρ(g)⊆D(gl(E))∼=sl₂.

D’autre part, comme E contient le sous-module trivialC, alorsρ(g) est contenue dans la sous-alg`ebre de Lieb₂ des matrices triangulaires de trace nulle :

b₂ =

½µa b 0−a

¶¯¯¯

¯ a, b∈C

¾ .

Comme dimb₂ = 2, il résulte de la proposition 14.9 que ρ(g) = 0, c.-à-d., que E est le module trivial C⊕C. Ceci achève la preuve du théorème 14.10.

Remarque 14.12. — Pour une variante du dernier argument de la d´emonstra- tion, voir [Dix, Lemme 1.6.1].

(18)

(19)

I. Alg`ebres de Lie et repr´esentations, le cas de sl₂(C)

S´eances du 25 et 27/9 . . . 1

1. Alg`ebres de Lie et repr´esentations . . . 1

1.1. Alg`ebres de Lie . . . 1

1.2. Repr´esentations . . . 4

1.3. Dérivations et opérateurs différentiels . . . 7

1.4. Repr´esentations de sl₂(K) . . . 9

1.5. Alg`ebres enveloppantes . . . 11

1.6. Repr´esentations de sl₂(K) . . . 14

2. Généralités sur les modules . . . 17

2.1. Modules simples et suites de composition . . . 17

2.2. Modules semi-simples et socles . . . 18

3. Semi-simplicit´e dessl₂(K)-modules de dimension finie . . . 19

3.1. ´El´ement de Casimir . . . 19

3.2. Le théorème de semi-simplicité . . . 21

II. Algèbres de Lie résolubles ou semi-simples Séances du 2, 4 et 5/10 . . . 25

4. Alg`ebres de Lie r´esolubles . . . 25

4.1. Série dérivée . . . 25

4.2. Alg`ebres de Lie nilpotentes . . . 29

5. Th´eor`emes d’Engel et de Lie . . . 31

5.1. Th´eor`eme d’Engel et applications . . . 31

5.2. Théorème de Lie et conséquences . . . 34

6. Forme de Killing et alg`ebres de Lie semi-simples . . . 36

6.1. Alg`ebres de Lie semi-simples . . . 36

6.2. Formes invariantes et forme de Killing . . . 37

(20)

6.3. Critères de résolubilité et de semi-simplicité de Cartan . . . 40

7. D´ecomposition de Jordan et d´erivations . . . 43

7.1. D´erivations . . . 43

7.2. D´ecomposition de Jordan . . . 45

III. C-algèbres de Lie semi-simples et systèmes de racines Séances du 9, 11 et 12/10 . . . 49

8.C-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 49

8.0. Sous-alg`ebres torales maximales et espaces de poids . . . 49

8.1. Passage `a unR-espace euclidien . . . 56

8.2. Le syst`eme de racines R⊂h^∗_R . . . 58

8.3. Le cas desl₂(C) . . . 59

9. Syst`emes de racines . . . 59

9.1. D´efinitions . . . 59

9.2. Syst`emes de racines de rang 2 . . . 60

9.3. Bases d’un syst`eme de racines . . . 63

9.4. Matrices de Cartan, graphes de Coxeter, diagrammes de Dynkin 65 10. Classification des graphes admissibles . . . 66

10.1. Premi`eres r´eductions . . . 66

10.2. Fin de la classification des graphes admissibles . . . 68

10.3. Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . 71

11. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines . . . 72

III. C-alg`ebres de Lie semi-simples (suite) S´eances du 18 et 19/10 . . . 73

11. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines . . . 74

11.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases . . . 74

11.2. Isomorphismes de syst`emes de racines . . . 77

11.3. Fin de la classification des syst`emes de racines . . . 77

12. Classification des C-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 78

12.1. Sous-alg`ebres de Cartan . . . 78

12.2. Le syst`eme de racines de g . . . 80

12.3. Théorème d’existence et d’unicité . . . 80

12.4. Type A_n−1 =sl_n(C) . . . 81

12.5. Types B et D : groupes orthogonaux . . . 82

12.6. Type C : groupes symplectiques . . . 86

IV. Réductibilité complète et modules de plus haut poids Séances du 25 et 26/10 . . . 89

13. Modules de plus haut poids . . . 89

13.1. Sous-alg`ebres de Borel et d´ecomposition triangulaire . . . 89

13.2. Vecteurs et modules de plus haut poids . . . 90

(21)

13.3. Modules de Verma . . . 94

13.4.g-modules simples de dimension finie . . . 96

14. Réductibilité complète . . . 99

14.1. Produits tensoriels et modules d’homomorphismes . . . 99

14.2. Élément de Casimir d’une C-algèbre de Lie semi-simple . . . 101

14.3. Deux propri´et´es deg . . . 103

14.4. Le théorème de complète réductibilité . . . 103

Bibliographie . . . iv

(22)

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