Semaine 2 (séances 2, 4 et 5/10)

SEMI-SIMPLES

S ´ EANCES DU 2, 4 ET 5/10

4. Alg`ebres de Lie r´esolubles

(3) On a vu pr´ec´edemment que les repr´esentations simples de dimension finie de sl₂(C) sont les C[X,Y]_n, de dimension n+ 1, tandis que celles de b:=CH⊕CE sont toutes de dimension 1 (cf. 1.48 et 1.46). Cette propri´et´e de b est commune `a toutes lesC-alg`ebres de Lier´esolubles, comme on va le voir.

4.1. S´erie d´eriv´ee. —

Notation 4.1. — Soitg une alg`ebre de Lie et soient U,V deux sous-espaces de g. On note [U,V] le sous-espace vectoriel engendr´e par les crochets [u, v], pour u∈U etv∈V. C’est donc l’ensemble des sommes finies [u₁, v₁]+· · ·+[u_n, v_n].

Définition 4.2. — On pose D(g) = [g,g]. C’est clairement un id´eal de g. On l’appelle l’id´eal d´eriv´e (ou la sous-alg`ebre d´eriv´ee) de g.

Il est clair que l’alg`ebre de Lie quotient g/D(g) est ab´elienne. R´eciproque- ment, on a le lemme suivant.

Lemme 4.3. — SoitI un id´eal de g. Alors l’alg`ebre de Lie g/I est ab´elienne si et seulement siI⊇D(g).

D´emonstration. — C’est clair, car :

g/I ab´elienne ⇔ ∀x, y∈g, [x, y]∈I⇔D(g)⊆I.

Exemple 4.4. — On a d´ej`a vu queD(gl_n(k))⊆sl_n(k), puisque Tr([A,B]) = 0 pour tout A,B∈gl_n(k). R´eciproquement, on voit que les matrices

(∗) E_i,j, pouri6=j, et E_i,i−E_i+1,i+1, pour i= 1, . . . , n−1,

(3)version du 26 octobre, avec correction dans la preuve du Lemme 6.16.

forment une base desl_n(k), et l’on a, pouri6=j,

(∗∗) E_i,j = [E_i,i,E_i,j], E_i,i−E_j,j= [E_i,j,E_j,i].

Donc, tous les ´el´ements de la base (∗) sont des crochets. Ceci montre que sl_n(k) =D(gl_n(k)).

Définition 4.5(Dérivations et idéaux caractéristiques). — On note D´er_k(g) l’es- pace des d´erivations de g, c.-`a-d., des endomorphismes k-lin´eaires D :g → g tels que

D([x, y]) = [D(x), y] + [x,D(y)], ∀x, y∈g.

D’apr`es l’identit´e de Jacobi, chaque endomorphisme ad(z) est une d´erivation de g.

Un id´eal caract´eristiquede gest un sous-espace stable par toute d´eriva- tion deg.

Exemple 4.6. — Par exemple, l’id´eal d´eriv´e D(g) et le centre z(g) sont des id´eaux caract´eristiques deg.

D´emonstration. — Soit D∈D´er_k(g) et soient x, y∈g etz∈z(g). Alors D([x, y]) = [D(x), y] + [x,D(y)]∈D(g),

doncD(g) est stable par D. D’autre part,

[D(z), x] = D([z, x])−[z,D(x)] = 0, montre que D(z)∈z(g).

Définition 4.7(Série dérivée). — On d´efinit la s´erie d´eriv´ee de g par : D⁰(g) =g,D¹(g) =D(g) = [g,g] et, pour touti>1,

Dⁱ⁺¹(g) = [Dⁱ(g),Dⁱ(g)].

Il est clair que chaque Dⁱ(g) est un id´eal de Dⁱ⁻¹(g), et que l’alg`ebre de Lie Dⁱ(g)/Dⁱ⁺¹(g) est ab´elienne. En fait, chaqueDⁱ(g) est unid´eal caract´eris- tiquede g.

D´emonstration. — Par r´ecurrence sur i. On l’a vu plus haut pour i = 1.

Supposons le r´esultat ´etabli jusqu’au crani>1.

Soit D∈D´er_k(g). Par hypoth`ese de r´ecurrence,Dⁱ(g) est stable par D, donc D⁰= D|_Di(g) est une d´erivation deDⁱ(g), et donc stabiliseDⁱ⁺¹(g).

Définition 4.8(Algèbres de Lie résolubles). — On dit que g est r´esoluble s’il existe une suite finie de sous-alg`ebres

g=g₀ ⊃g₁⊃ · · · ⊃g_n⊃g_n+1= 0

telle que [g_i,g_i]⊆g_i+1, pour i= 0, . . . , n. (Ceci ´equivaut `a dire queg<sub>i+1</sub> est un id´eal de g<sub>i</sub> et que l’alg`ebre de Lieg_i/g_i+1 est ab´elienne.)

Proposition 4.9. — g est r´esoluble si et seulement si Dⁿ⁺¹(g) = (0) pour un certain n.

D´emonstration. — Sig=g₀ ⊃g₁ ⊃ · · · ⊃g_n+1 = 0 est une suite comme dans la d´efinition 4.8, on voit par r´ecurrence suriqueDⁱ(g)⊆g_i, pour touti, d’o`u Dⁿ⁺¹(g) = (0). La r´eciproque est ´evidente, en prenantg_i =Dⁱ(g).

Exemples 4.10. — 1) Toute alg`ebre de Lie ab´elienne est r´esoluble.

2) L’alg`ebre de Lie b = kH⊕kE, avec [H,E] = E, est r´esoluble. En effet, D(b) =kE et D²(b) = 0.

Exemple 4.11. — Supposons car(k) 6= 2. Alors sl₂(k) n’est pas r´esoluble. En effet, on a

H = [E,F], E = 1

2[H,E], F = 1 2[F,H],

d’o`usl₂(k) =D(sl₂(k)), et donc sl₂(k) =Dⁿ(sl₂(k)) pour tout n∈N.

Lemme 4.12. — Soitπ :g→g⁰ un morphisme surjectif d’alg`ebres de Lie. Pour tout i>0, on a

π(Dⁱ(g)) =Dⁱ(g⁰).

D´emonstration. — Par r´ecurrence sur i. Pour i = 0, c’est l’hypoth`ese que π est surjectif. Supposons le r´esultat ´etabli jusqu’au crani>0.

Comme π([x, y]) = [π(x), π(y)], il est clair que π(Dⁱ⁺¹(g)) ⊆ Dⁱ⁺¹(g⁰).

R´eciproquement,Dⁱ⁺¹(g⁰) est engendr´e surkpar les [a, b], avec a, b∈Dⁱ(g⁰).

Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existex, y∈Dⁱ(g) tels queπ(x) =a,π(y) =b, et alors

[a, b] =π([x, y])∈π(Dⁱ⁺¹(g)).

Ceci prouve le lemme.

Proposition 4.13. — 1) Si g est r´esoluble, alors toute sous-alg`ebre et toute al- g`ebre quotient de g est r´esoluble.

2)R´eciproquement, soit I un id´eal de g. Si I et g/Isont r´esolubles, alors g est r´esoluble.

D´emonstration. — 1) SupposonsDⁿ(g) = 0 et soientg⁰ une alg`ebre quotient, resp. hune sous-alg`ebre de g. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, Dⁿ(g⁰) = 0, donc g⁰ est r´esoluble. De mˆeme, on voit facilement, par r´ecurrence, que

(∗) Dⁱ(h)⊆Dⁱ(g), ∀i∈N.

Donc Dⁿ(h) = 0 et hest r´esoluble.

2) Notonsπ la projection g→g⁰ =g/I et supposons D^r(g⁰) = 0, D^s(I) = 0.

D’apr`es le lemme pr´ec´edent et (∗), on obtientD^r(g)⊆I puis D^s+r(g)⊆D^s(I) = 0.

Donc gest r´esoluble.

Remarque 4.14. — Soit r une alg`ebre de Lie r´esoluble et soit a := D<sup>n</sup>(r) le dernier terme non nul de la s´erie d´eriv´ee de r (c.-`a-d., n est le plus grand entier tel que Dⁿ(r) 6= 0). Alors a est un id´eal caract´eristique (cf. 4.6), et ab´elien puisque D(a) =Dⁿ⁺¹(g) = 0. Ceci conduit `a la proposition suivante, qui sera utile plus loin.

Proposition 4.15. — Soit g une alg`ebre de Lie. Les conditions suivantes sont

´equivalentes :

1)g n’a pas d’id´eal r´esoluble non nul, 2)g n’a pas d’id´eal r´esoluble non nul.

D´emonstration. — Il est clair que 1)⇒2). R´eciproquement, supposons queg poss`ede un id´eal r´esoluble r 6= 0. Soit a=Dⁿ(r) le dernier terme non nul de la s´erie d´eriv´ee der; c’est un id´eal ab´elien et caract´eristique de r.

Soit x∈g. Alors [x,r]⊆r, puisquer est un id´eal deg; par cons´equent, D = (adx)|_r

est une d´erivation de r, donc stabilise a = Dⁿ(r). Ceci montre que a est un id´eal ab´elien deg. La proposition est d´emontr´ee.

Pour ˆetre complet, terminons ce paragraphe avec la notion deradical r´e- soluble; on n’en aura pas vraiment besoin dans la suite.

Définition et proposition 4.16. — Soit g une k-alg`ebre de Lie de dimension fi- nie. Alors g poss`ede un plus grand id´eal r´esoluble. On l’appelle le radical (r´esoluble)de g, et on le notera R(g).

D´emonstration. — Soit r un id´eal r´esoluble de g de dimension maximale, et soits un second id´eal r´esoluble. Alors

q:= r+s s ∼= r

r∩s est r´esoluble, et l’on a uen suite exacte

0−→r−→r+s−→q−→0.

Par cons´equent, l’id´eal r+s est r´esoluble, donc ´egale r par maximalit´e de ce dernier. Doncs⊆r, et ceci montre quer est le grand id´eal r´esoluble deg.

Proposition 4.17. — Le radical deg:=g/R(g) est nul.

D´emonstration. — Soit r le radical deg, il est de la forme r= I/R(g),

o`u I est un id´eal de g contenantR(g). On a une suite exacte 0−→R(g)−→I−→r−→0,

et donc, d’apr`es la proposition 4.13, I est r´esoluble. Mais alors I = R(g), et doncr= 0.

4.2. Alg`ebres de Lie nilpotentes. —

Définition 4.18(Série centrale descendante). — On d´efinit la s´erie centrale descendante de gpar :C¹(g) =g,C²(g) = [g,g] et, pour tout i>2,

Cⁱ⁺¹(g) = [g,Cⁱ(g)].

On voit facilement, par r´ecurrence suri, que chaqueCⁱ(g) est un id´eal carac- t´eristique de g, et que Cⁱ(g)/Cⁱ⁺¹(g) est un id´eal central (c.-`a-d., contenu dans le centre) deg/Cⁱ⁺¹(g).

Remarque 4.19. — La notation C¹(g) = g, C²(g) = [g,g], etc. est choisie de fa¸con `a ce que l’on ait, pour touti, j>1 :

£Cⁱ(g),C^j(g)¤

⊆C^i+j(g).

Définition 4.20(Algèbres de Lie nilpotentes). — On dit que g est nilpotente s’il existe ntel queCⁿ(g) = (0).

Remarques 4.21. — 1) Il est clair que : ab´elienne⇒ nilpotente.

2) On montre facilement, par r´ecurrence surn, que Dⁿ(g)⊆Cⁿ⁺¹(g). Par cons´equent : nilpotente⇒r´esoluble. La r´eciproque est fausse, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 4.22. — Soitgune alg`ebre de Lie de dimension 2 non ab´elienne. Alors [g,g] est n´ecessairement de dimension 1, et l’on v´erifie que g admet une base (x, y) telle que [x, y] =y. AlorsD(g) =ky =C²(g), et

D²(g) = [ky, ky] = 0, mais C³(g) = [g, ky] =ky,

et doncCⁿ(g) =ky pour toutn>2. Doncgest r´esoluble mais pas nilpotente.

Proposition 4.23. — Soit g une alg`ebre de Lie nilpotente. Alors toute sous- alg`ebre et toute alg`ebre quotient de g est nilpotente.

D´emonstration. — Similaire `a celle du point 1) de la proposition 4.13, et lais- s´ee au lecteur.

Remarque 4.24. — Attention !L’analogue du point 2) de la proposition 4.13 n’est pas vrai pour les alg`ebres de Lie nilpotentes : consid´erons `a nouveau l’alg`ebre de Lie b=kH⊕kE, avec [H,E] = E. AlorskE est un id´eal ab´elien, et le quotient est de dimension 1, donc aussi ab´elien, mais on a vu quebn’est pas nilpotente.

Toutefois, on a la proposition suivante.

Proposition 4.25. — Soit c un id´eal central de g. Si g/c est nilpotente, alors g est nilpotente.

En particulier, si adg est nilpotente, alors g est nilpotente.

D´emonstration. — Supposons g/c nilpotente, disonsCⁿ(g/c) = (0). Alors, Cⁿ(g)⊆c,

et comme c est central il vient Cⁿ⁺¹(g) = (0). Ceci prouve la premi`ere asser- tion. Comme adg∼=g/z(g) (cf. 1.16), la seconde en d´ecoule.

Proposition 4.26(Matrices triangulaires). — Notons b_n = b_n(k), resp. n_n = n_n(k), la sous-alg`ebre de Lie deM_n(k)form´ee des matrices triangulaires, resp.

triangulaires avec des 0 sur la diagonale. Alors : 1) [b_n,b_n]⊆n_n.

2)n_n est nilpotente ; plus pr´ecis´ement, on a Cⁿ(n_n) = 0.

3)b_n est r´esoluble.

D´emonstration. — Soient A,B deux matrices triangulaires sup´erieures, et no- tonsλ₁, . . . , λ_n(resp.µ₁, . . . , µ_n) les termes diagonaux de A (resp. de B). Alors la matrice AB est triangulaire sup´erieure, de termes diagonaux :

λ₁µ₁, . . . , λ_nµ_n.

D’une part, ceci entraˆıne que AB−BA∈n_n, ce qui prouve 1).

D’autre part, ceci montre que :b_n est unesous-alg`ebre de l’alg`ebreasso- ciative M_n(k), et quen_n en est unid´eal, qu’on notera J. Soit (e₁, . . . , e_n) la base standard de kⁿet soit (V_i) le drapeau associ´e. On a

J ={x∈b_n midxV_i ⊆V_i−1, ∀i= 1, . . . , n}, et on en d´eduit, par r´ecurrence sur r, que

J^r ={x∈b_n midxV_i⊆V_i−r, ∀i= 1, . . . , n}.

En particulier, Jⁿ= (0). Enfin, on voit facilement, par r´ecurrence surr, que C^r(n_n)⊆J^r, ∀r= 1, . . . , n,

d’o`uCⁿ(n_n) = (0). Doncn_n est nilpotente.

A fortiori, n_n est r´esoluble, donc aussi b_n, puisque D(b_n) ⊆ n_n et donc Dⁱ⁺¹(b_n)⊆Dⁱ(n_n) pour tout i>0.

Remarques 4.27. — 1) En fait, on a D(b_n) =n_n, puisque [E_ii,E_ij] = E_ij pour touti < j.

2)nest le plus petit entier r tel queC^r(n_n) = 0, car on a : [· · ·[[E_1,2,E_2,3],E_3,4],· · ·E_n−1,n] = E_1,n.

5. Th´eor`emes d’Engel et de Lie

5.1. Th´eor`eme d’Engel et applications. — Soit V unk-espace vectoriel non nul de dimension finie.

Définition 5.1(Drapeaux). — Undrapeaude V est une suite de sous-espaces vectoriels emboit´es :

0 = V₀ ⊂V₁ ⊂ · · · ⊂V_d= V,

tels que dim_kV_i =ipour tout i. On note V^• = (V₁⊂ · · · ⊂V_d).

On dit qu’une base (e₁, . . . , e_d) estadapt´ee`a V^• si, pour touti, les vecteurs e₁, . . . , e_i forment une base de V_i.

Définition 5.2. — Soitu∈End_k(V). On dit qu’un drapeau V^• est stablepar usiu(V_i)⊆V_ipour touti. Ceci ´equivaut `a dire que pourunebaseBadapt´ee

`a V<sup>•</sup>, la matrice Mat<sub>B</sub>(u) est triangulaire sup´erieure (et c’est alors le cas pour toute base adapt´ee `a V^•).

Lemme 5.3. — Soit x ∈ End_k(V) un endomorphisme nilpotent. Alors ad(x) est nilpotent.

D´emonstration. — Dans End_k(V), consid´erons les translations `a gauche et `a droite, λ(x) et ρ(x), d´efinies par

λ(x)(y) =xy, ρ(x)(y) =yx.

Elles commutent (c.-`a-d., λ(x)◦ρ(x) =ρ(x)◦λ(x)), et l’on a ad(x) =λ(x)− ρ(x). Donc, d’apr`es la formule du binˆome, l’on a pour toutn>1 :

(adx)ⁿ= Xn

i=0

µn i

¶

(−1)ⁱλ(x)ⁿ⁻ⁱρ(x)ⁱ. Par cons´equent, six^m= 0, on a (adx)^2m = 0.

Théorème 5.4(Engel). — Soit ρ : g → End_k(V) une repr´esentation de g telle que ρ(x) soit nilpotent, pour tout x∈g. Alors :

1) V contient un vecteurg-invariant non nul.

2) Il existe un drapeau (V_i) de V tel que ρ(g)V_i ⊆ V_i−1, pour tout i. De fa¸con ´equivalente, il existe une baseB deVdans laquelle tous les ´el´ements de ρ(g) sont triangulaires, avec des 0 sur la diagonale.

3)ρ(g) est une sous-alg`ebre de Lie nilpotente deEnd_k(V).

D´emonstration. — Supposons 1) v´erifi´ee, et montrons 2) par r´ecurrence sur dim V. Par hypoth`ese, V poss`ede un vecteur invariantv₁6= 0. Alors V₁ =kv₁ est un sous-module de V, et la repr´esentationρdans V/V₁ v´erifie l’hypoth`ese du th´eor`eme (car siρ(x)ⁿ= 0 alorsa fortiori ρ(x)ⁿ= 0). Donc, par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe un drapeau (V_i)_i>2 de sous-espaces contenant V₁, tel que ρ(g)V_i ⊆V_i−1, pour touti, et le point 2) en d´ecoule.

Pour montrer le point 1), rempla¸cant g par son image ρ(g), on se ram`ene au cas o`ug⊂End_k(V). Proc´edons alors par r´ecurrence sur dim_kg. Si g=kx, avec x nilpotent, alors Kerx6= 0, donc 1) est v´erifi´e.

On peut donc supposer dimg>1 et le th´eor`eme d´emontr´e pour toute sous- alg`ebreh6=g.

Soit alors h une sous-alg`ebre propre de g, de dimension maximale. Tout x∈hest un endomorphisme nilpotent de V, donc, d’apr`es le lemme 5.3, ad(x) est nilpotent. En particulier, pour toutx ∈h, l’action de ad(x) sur U :=g/h est nilpotente.

Donc, d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee au couple (h,U), il existe un vecteur non nul de U annul´e parh, c.-`a-d., il existex∈g tel que

(∗) x6∈h et [h, x]⊆h.

Alors,h+kxest une sous-alg`ebre, et la maximalit´e dehentraˆıne queg=h+kx, et alors (∗) montre quehest un id´eal deg.

Revenons `a V. Par hypoth`ese de r´ecurrence, `a nouveau, le sous-espace W = V^h ={w∈V| ∀y∈h, yw= 0}

est non nul. Il est stable parx, car pourw∈W ety ∈h, on a yxw= [y, x]w+xyw= 0,

ce qui montre que xw∈W. Alorsx|_W est un endomorphisme nilpotent, donc annule un vecteur w₀ 6= 0. Comme w₀ est annul´e par h, il est annul´e par g.

Ceci ach`eve la preuve du point 1), et donc du point 2).

Le point 3) en d´ecoule. En effet, s’´etant ramen´e comme pr´ec´edemment au cas o`u g⊂End_k(V), il r´esulte du lemme 5.3, que chaque ad(x) est nilpotent.

Donc d’apr`es le point 2) appliqu´e `a la repr´esentation adjointe, il existe une suite d’id´eaux

0 =g₀ ⊂g₁ ⊂ · · · ⊂g_d=g

telle que [g,g_i]⊆g_i−1 pour touti. Ceci entraˆıne quegest nilpotente. En effet, on voit par r´ecurrence surique

Cⁱ(g)⊆g_d+1−i,

d’o`uC<sup>d+1</sup>(g) = 0. Le th´eor`eme est d´emontr´e. De plus, au cours de la d´emons- tration du point 3), on a ´etabli le corollaire ci-dessous.

Corollaire 5.5(Théorème d’Engel). — Soit g une k-alg`ebre de Lie de dimen- sion finie telle quead(x)soit nilpotent, pour toutx∈g. Alorsgest nilpotente.

Remarques 5.6. — Attention ! Soit n une k-alg`ebre de Lie nilpotente. Il ne faut pas croire quenagit de fa¸con nilpotente dans toute repr´esentation !

1) D´ej`a dans le cas le plus simple o`u n = kX est de dimension 1, donc ab´elienne, on a U(n) = k[X] et donc un n-module n’est autre qu’un k[X]- module. En particulier, les kX-modules irr´eductibles sont lesk[X]/m, pour m id´eal maximal de k[X]. En particulier, on trouve d´ej`a tous les modules

k_λ :=k[X]/(X−λ), pour λ∈k.

Si k est alg´ebriquement clos, ce sont les seuls ; sinon il y a tous les k[X]/(P) pour P polynˆome irr´eductible unitaire.

2) Supposonskalg´ebriquement clos. Si car(k) = 0, on verra plus loin que toutn-module irr´eductible de dimension finie est de dimension 1 (th´eor`eme de Lie), mais cela n’est pas vrai si car(k) =p >0. Voici un exemple. On se place dans M_p(k) et, pouri= 1, . . . , p−1, on note

X_i = E_i,i+1, Y_i= E_i+1,i, H_i = E_i,i−E_i+1,i+1.

Alors [X_i,Y_i] = H_i et [X_i,Y_j] = 0 si i6= j. D’autre part, la matrice identit´e

´egale :

id = H₁+ 2H₂+· · ·+ (p−1)H_p−1. Posons X =P_p−1

i=1 iX_i et Y =P_p−1

i=1 iY_i, c.-`a-d., X est la matrice ci-dessous

X =











0 1 0 · · · 0 0 0 2 . .. ...

0 0 . .. ... 0 ... . .. 0 p−1 0· · · · 0 0











et Y est sa transpos´ee. On a [X,Y] = id, et donc (X,Y,id) forment une base d’une alg`ebre de Lie nilpotente nde dimension 3, isomorphe `a l’alg`ebre de Heisenberg. Montrons que V = k^p est un n-module irr´eductible. Notons (e₁, . . . , e_p) la base canonique dek^p.

Soit E un sous-espace non nul de V stable parn. Comme Ker(X)∩Ker(Y) = (0), alors E ne peut ˆetre annul´e `a la fois par X et Y. On peut donc supposer XE6= 0. Alors E contient e<sub>1</sub>, et les Y<sup>i</sup>(e<sub>1</sub>) pour i= 1, . . . , p−1, d’o`u E = V.

Ceci montre que V est un n-module simple, de dimension p.

5.2. Th´eor`eme de Lie et cons´equences. — Dans ce paragraphe, le corps de baseKest de caract´eristique nulle.

Lemme 5.7. — Soient g une K-alg`ebre de Lie, h un id´eal, V un g-module de dimension finie. On suppose qu’il existe λ ∈ h^∗, et v ∈ V, v 6= 0, tels que yv=λ(y)v pour tout y∈h. Alors on a :

λ([g,h]) = 0.

D´emonstration. — Soit x∈g et soitnle plus petit entier tel que les vecteurs v, xv, . . . , xⁿv soient li´es. On pose W₋₁ = 0 et, pouri= 0, . . . , n−1,

W_i = Vect{v, . . . , xⁱv}.

Montrons par r´ecurrence surique :

(†) ∀y∈h, yxⁱv∈λ(y)xⁱv+ W_i−1.

C’est vrai pour i= 0. Supposant le r´esultat d´emontr´e au crani, on a yxⁱ⁺¹v=yxxⁱv= [y, x]xⁱv+xyxⁱv.

Par hypoth`ese de r´ecurrence, [y, x]xⁱv∈W_i et xyxⁱv∈x¡

λ(y)xⁱv+ W_i−1¢

⊆λ(y)xⁱ⁺¹v+ W_i.

Ceci prouve l’assertion (†). Par cons´equent, W = W_n−1 est stable par la sous- alg`ebreh+Kx, et pour toutz∈hl’on a :

Tr_W(z) =n λ(z).

Siz= [x, y], alorsz|_West le commutateur dex|_W et dey|_W, donc est de trace nulle. Commen6= 0, puisque car(K) = 0, on en d´eduit que

∀y∈h, λ([x, y]) = 0.

Ceci prouve le lemme.

Théorème 5.8(Lie). — Supposons de plus K alg´ebriquement clos. Soit g une K-alg`ebre de Lie r´esoluble, et V un g-module de dimension finie. Alors :

1) V poss`ede un sous-g-module de dimension 1, c.-`a-d., il existev∈V non nul et λ∈g^∗ tels que :

∀x∈g, xv =λ(x)v.

(D’o`u, n´ecessairement, λ([g,g]) = 0.)

2)Il existe un drapeau(V_i)deVstable parg, c.-`a-d., tel queρ(g)V_i⊆V_i, pour touti. De fa¸con ´equivalente, il existe une baseB deV dans laquelle tous les ´el´ements de ρ(g) sont triangulaires.

D´emonstration. — Comme dans la d´emonstration du th´eor`eme d’Engel, le point 2) r´esulte du point 1), par r´ecurrence sur dim V. Pour d´emontrer le point 1), on peut remplacergpar son image dans End<sub>K</sub>(V). On proc`ede alors par r´ecurrence sur dimg.

Sig=Kx, c’est OK car x est trigonalisable, puisqueKest alg´ebriquement clos. On peut donc supposer dimg > 1 et le th´eor`eme d´emontr´e pour toute sous-alg`ebreh6=g.

Commegest r´esoluble,D(g) est une sous-alg`ebre propre, et tout sous-espace contenantD(g) est un id´eal de g. Soient donchun id´eal de codimension 1, et x6∈h, de sorte que

g=hL Kx.

Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe µ∈h^∗ tel que W :={w∈V| ∀y∈h, yw=µ(y)w}

soit non nul. Montrons que W est stable par x. Soit w∈W ; pour touty ∈h on a :

yxw= [y, x]w+xyw=µ(y)xw,

car [y, x]∈h etµ([y, x]) = 0 d’apr`es le lemme pr´ec´edent. Ceci montre que x stabilise W, donc il existe w<sub>0</sub> ∈ W, non nul, et t<sub>0</sub> ∈K, tels que xw<sub>0</sub> =t<sub>0</sub>w<sub>0</sub>. Soit λ la forme lin´eaire sur g d´efinie par λ|<sub>h</sub> = µ et λ(x) = t<sub>0</sub>; alors pour tout z ∈ g on a zw<sub>0</sub> = λ(z)w<sub>0</sub>. Ceci prouve le point 1), et le th´eor`eme est d´emontr´e.

Le point 1) du th´eor`eme contient comme cas particulier le corollaire suivant.

Corollaire 5.9(Théorème de Lie). — SoientKun corps alg´ebriquement clos de caract´eristique nulle,g uneK-alg`ebre de Lie r´esoluble, etV ung-module irr´e- ductible de dimension finie. Alors dim_KV = 1.

Proposition 5.10. — Soit g uneK-alg`ebre de Lie r´esoluble de dimension finie.

Alors [g,g]est nilpotente.

D´emonstration. — Soit K une clˆoture alg´ebrique de K. Rempla¸cant g par g⊗_KK, on se ram`ene au cas o`uK=K.

Alors, d’apr`es le th´eor`eme de Lie appliqu´e `a la repr´esentation adjointe, il existe une base (e₁, . . . , e_n) de g dans laquelle tout ad_g(x) est triangulaire sup´erieur. Alors, pour touty∈D(g), ad_g(y) est triangulaire avec des 0 sur la diagonale. Posanth=D(g) et notant V_i= Vect(e₁, . . . , e_i), on en d´eduit que

ad_g(h)(V_i)⊆V_i−1, ∀i, puis, par r´ecurrence sur r, que

ad_g(h)^r(V_i)⊆V_i−r,

ce qui signifie :

∀y₁, . . . , y_r ∈h, ∀x∈V_i, [y_r,· · ·[y₂,[y₁, x]]· · ·]∈V_i−r. Il en r´esulte queh=D(g) est nilpotente. La proposition est d´emontr´ee.

6. Forme de Killing et alg`ebres de Lie semi-simples 6.1. Alg`ebres de Lie semi-simples. —

Définition 6.1(Algèbres de Lie simples). — Une k-alg`ebre de Lie g est dite simplesi elle estnon ab´elienneet simple commeg-module. Ceci ´equivaut `a dire quegn’a pas d’id´eaux autres que (0) etg, et est de dimension>1 (c.-`a-d., l’alg`ebre de Lie ab´elienne de dimension 1 ne fait pas partie des alg`ebres de Lie simples).

En particulier, sigest simple, alorsz(g) = (0) etg=D(g). Plus pr´ecis´ement, pour tout x 6= 0, on a [g, x] 6= 0, puisque x n’est pas central, et donc l’id´eal engendr´e par [g, x] ´egale g.

Définition 6.2(Produit d’algèbres de Lie). — Soient g,g⁰ deux k-alg`ebres de Lie. Alors l’espace vectoriel g ×g<sup>0</sup> est une alg`ebre de Lie, pour le crochet

d´efini par £

(x, x⁰),(y, y⁰)¤

=¡

[x, x⁰],[y, y⁰]¢ .

(La v´erification est laiss´ee au lecteur). Alors, g (resp.g⁰) s’identifie `a l’id´eal g× {0}(resp. {0} ×g⁰), et l’on a :

g×g⁰ =gL

g⁰, avec [g,g⁰] = 0.

Notation 6.3. — Il est souvent commode de d´esignerg×g⁰ parg⊕g⁰. C’est le cas, par exemple, dans la proposition suivante.

Proposition 6.4(Unicité des composantes simples). — Supposons que g soit le produit direct d’alg`ebres de Lie simples g₁, . . . ,g_n; ´ecrivons :

(∗) g=g₁L

· · ·L g_n.

Alors, tout id´eal de g est la somme desg_i qu’il contient. Par cons´equent : 1)Lesg_isont uniquement d´etermin´es : ce sont les id´eaux non nuls minimaux de g.

2)g ne contient pas d’id´eal r´esoluble non nul.

D´emonstration. — Comme chaqueg_iest une alg`ebre de Lie simple, alors, pour toutx_i ∈g_i\ {0}, on a [g_i, x_i]6= 0, puisquex_i n’est pas central, et donc l’id´eal engendr´e par [g_i, x_i] ´egale g_i.

Soit hun id´eal non nul deg. Notonsπ_i les projectionsg→g_i et soit I ={i∈ {1, . . . , n} |π_i(h)6= 0}.

Soit i∈I. Il existe x∈htel que

x=x₁+· · ·+x_n, avec x_j ∈g_j, etx_i 6= 0.

Alorshcontient l’id´eal engendr´e par [g_i, x] = [g_i, x_i], qui ´egaleg_i. Il en r´esulte que

h=L

i∈I

g_i.

On en d´eduit que les id´eaux non nuls minimaux de g sont exactement g₁, . . . ,g_n.

D’autre part, comme [g_i,g_i] =g_i pour touti, alorsh= [h,h] et donchn’est pas r´esoluble. La proposition est d´emontr´ee.

Remarque 6.5. — Attention !On pourrait ˆetre tent´e de d´efinir les alg`ebres de Lie semi-simples comme ´etant les produits directs d’alg`ebres de Lie simples.

Mais ce n’estpasla d´efinition«officielle», donn´ee plus bas. Toutefois, on verra plus bas que les deux d´efinitions co¨ıncident sur un corps de caract´eristique nulle.

Définition 6.6(Algèbres de Lie semi-simples). — On dit qu’une k-alg`ebre de Lie de dimension finie g est semi-simple si elle ne contient pas d’id´eal ab´e- lien non nul.

D’apr`es la proposition 4.15 (et la d´efinition 4.16), ceci ´equivaut `a dire que g n’a pas d’id´eal r´esoluble non nul (c.-`a-d., queR(g) = 0).

Exemple 6.7(Pathologies pourcar(k)>0). — Supposons car(k) = p > 3.

Alors, la matrice identit´e id ∈ M_p(k) appartient `a sl<sub>p</sub>(k) et l’on peut mon- trer que l’alg`ebre de Liesl_p(k)/kid est simple, et est l’unique id´eal propre non nul de gl_p(k)/kid.

Par cons´equent, gl_p(k)/kid ne contient pas d’id´eal r´esoluble non nul, donc est semi-simple au sens de la d´efinition pr´ec´edente, mais mais n’est pas produit direct d’alg`ebres de Lie simples, car on a une suite exacte

0−→ sl_p(k)

kid −→ gl_p(k)

kid −→k−→0,

maissl_p(k)/kid est le seul id´eal propre non nul. Pour tout cela, voir l’exercice 24 de [BL1,§6].

6.2. Formes invariantes et forme de Killing. —

Définition 6.8(Formes invariantes). — Soitφ:g×g→k une forme bilin´eaire sym´etrique. On dit queφ estinvariante si, pour toutx, y, z∈g, on a :

φ([x, y], z) +φ(x,[z, y]) = 0, c.-`a-d., de fa¸con ´equivalente :

φ([x, y], z) =φ(x,[y, z]).

Dans ce cas,

Kerφ:={x∈g|φ(x, y) = 0, ∀y∈g}

est unid´ealde g. En effet, si x∈Kerφ ety∈g, alors pour tout z∈g on a φ([x, y], z) =φ(x,[y, z]) = 0, d’o`u [x, y]∈Kerφ.

Notation 6.9. — Pour la suite, on convient que «forme invariante» signifie

«forme bilin´eaire sym´etrique invariante».

Proposition 6.10. — Soit φune forme invariante sur g et soitI un id´eal de g.

1)L’orthogonal I^⊥ de I relativement `a φest un id´eal de g.

2)Si φ est non d´eg´en´er´ee, alors I∩I^⊥ est un id´eal ab´elien.

D´emonstration. — 1) Soient y ∈I^⊥ etz ∈g. Puisque φ est invariante et que I est un id´eal, on a, pour toutx∈I,

φ([y, z], x) =φ(y,[z, x]) = 0.

Donc [y, z]∈I^⊥. Ceci montre que I^⊥ est un id´eal deg.

2) Posonsa= I∩I^⊥, et soientx, y∈a. Pour tout z∈g, on a φ([x, y], z) =φ(x,[y, z]) = 0,

carx∈I et [y, z]∈I^⊥. Ceci montre que [a,a]⊆Kerφ. En particulier, si φest non d´eg´en´er´ee, a est ab´elien.

Définition 6.11(Forme invariante associée à une représentation)

Soitρ:g→gl(V) une repr´esentation de dimension finie deg. On lui associe la forme bilin´eaire sym´etrique K_ρ d´efinie par

K_ρ(x, y) = Tr_V(ρ(x)ρ(y)) = K_ρ(y, x).

Elle est invariante car, posant A =ρ(x), B =ρ(y), C =ρ(z), on a : K_ρ([x, y], z) = Tr_V([A,B]C) = Tr_V(ABC−BAC)

= Tr_V(ABC−ACB) = K_ρ(x,[y, z]).

D´esormais, on suppose queg est dedimension finie.

Définition 6.12(Forme de Killing). — La forme de Killing, not´ee K_gou simple- ment K, est la forme invariante associ´ee `a la repr´esentation adjointe, c.-`a-d.,

K(x, y) = Tr_g(ad(x) ad(y)).

Elle joue un rˆole fondamental dans la th´eorie des alg`ebres de Lie. Pour com- mencer, on a la proposition suivante.

Proposition 6.13. — Soit I un id´eal deg.

1)SoitK_Ila forme de Killing de I. AlorsK_Iest la restriction `aI×IdeK_g. 2)Si I est ab´elien, alors I⊆Ker K_g.

3) Si K_g est non d´eg´en´er´ee, g ne contient pas d’id´eal r´esoluble 6= 0 et, de plus, g est produit direct d’alg`ebres de Lie simples.

D´emonstration. — Soit V un sous-espace suppl´ementaire de I dans g, et soit B une base deg adapt´ee `a la d´ecompositiong= I⊕V. Soientx∈I ety ∈g.

Comme I est un id´eal, la matrice dans B de ad(x), resp. ad(y), est de la

forme suivante µ

A ∗ 0 0

¶

, resp.

µB ∗ 0 ∗

¶ ,

o`u A, resp. B, est la matrice de la restriction ad(x)|_I, resp. ad(y)|_I. Alors, ad(x) ad(y) =

µAB ∗ 0 0

¶

et donc

K_g(x, y) = Tr_g(ad(x) ad(y)) = Tr_I(ad(x)|_I ad(y)|_I).

En particulier, siy=x⁰∈I, alors le terme de droite n’est autre que K_I(x, y), et l’on obtient donc

K_g(x, x⁰) = K_I(x, x⁰), ∀x, x⁰∈I, ce qui prouve 1).

D’autre part, si I est ab´elien alors A = ad(x)|_I= 0, d’o`u K_g(x, y) = 0 pour touty ∈g, et donc I⊆Kerφ. Ceci prouve 2).

Supposons K_g non d´eg´en´er´ee. Alors, d’apr`es 2) et la proposition 4.15, gne contient pas d’id´eal r´esoluble non nul. Montrons enfin la derni`ere assertion de 3) par r´ecurrence sur dim_kg.

Soitg₁ un id´eal non nul degde dimension minimale, et soithson orthogonal pour K_g. D’apr`es la proposition 6.10,g₁∩hest un id´eal ab´elien, donc nul. On a donc une somme directe orthogonale

(∗) g=g₁L^⊥

h, et [g₁,h] = 0.

Il en r´esulte que tout sous-espace deg₁ stable par ad(g₁) est un id´eal deg. La minimalit´e de g₁ entraˆıne donc que g₁ est une alg`ebre de Lie simple.

D’autre part, d’apr`es 1), la forme de Killing dehest la restriction de K<sub>g</sub> `a h, et il r´esulte de (∗) que celle-ci est non d´eg´en´er´ee. Donc, par hypoth`ese de r´ecurrence, hse d´ecompose en :

h=g₂L^⊥

· · ·L^⊥ g_n,

o`u chaque g<sub>i</sub> est une alg`ebre de Lie simple et [g_i,g_j] = 0 pour i 6= j. La proposition est d´emontr´ee.

6.3. Crit`eres de r´esolubilit´e et de semi-simplicit´e de Cartan. — Dans ce paragraphe, le corps de base K est de caract´eristique nulle. Commen¸cons par la proposition suivante.

Corollaire 6.14. — Soit g une K-alg`ebre de Lie r´esoluble, et ρ :g→ End_k(V) une repr´esentation de dimension finie. Alors, on a

K_ρ(g,D(g)) = 0,

c.-`a-d., Tr_V(ρ(x)ρ(y)) = 0, pour tout x∈g et y∈D(g).

D´emonstration. — Soit K une clˆoture alg´ebrique de K. Rempla¸cant V par V⊗_KK, on se ram`ene au cas o`uK=K.

Alors, d’apr`es le th´eor`eme de Lie 5.8, il existe une base B de V dans la- quelle tout ρ(x) est triangulaire sup´erieur. Alors, pour tout y ∈ D(g), ρ(y) est triangulaire avec des 0 sur la diagonale, et il en est de mˆeme du produit ρ(x)ρ(y). Par cons´equent,

K_ρ(x, y) = Tr_V(ρ(x)ρ(y)) = 0.

R´eciproquement, on a le th´eor`eme suivant.

Théorème 6.15(Élie Cartan). — Soit VunK-espace vectoriel de dimension fi- nie etg une sous-alg`ebre de Lie de gl(V). On suppose :

(1) Tr_V(xy) = 0, ∀x∈D(g), y∈g.

Alors D(g) est nilpotent, et donc g est r´esoluble.

D´emonstration. — SoitKune clˆoture alg´ebrique deK. On voit facilement que D(g⊗_KK) =D(g)⊗_KK;

par cons´equent, l’hypoth`ese (1) est pr´eserv´ee par l’extension des scalaires de K `a K. De plus, si D(g)⊗_KKest nilpotente, il en est de mˆeme de D(g). On se ram`ene ainsi `a d´emontrer le th´eor`eme sous l’hypoth`ese additionnelle queK soit alg´ebriquement clos ; hypoth`ese sous laquelle nous nous pla¸cons.

D’apr`es le th´eor`eme d’Engel, il suffit de montrer que tout x∈D(g) est un endomorphisme nilpotent de V. Consid´erons

T :={u∈End_K(V)|[u,g]⊆D(g)}

(c’est le «transporteur de A :=gdans B :=D(g)). Montrons que l’hypoth`ese (1) entraˆıne le r´esultat suivant :

(2) Tr_V(xu) = 0, ∀x∈D(g), u∈T.

Soient y, z∈get u∈T. Alors

Tr([y, z]u) = Tr(yzu−zyu) = Tr(yzu−yuz)

= Tr(y[z, u]) = 0,

la derni`ere ´egalit´e r´esultant du fait que [z, u] ∈ D(g). Ceci prouve (2). Le th´eor`eme d´ecoule alors du lemme tr`es astucieux suivant.

Lemme 6.16. — On supposeK=K. Soient B⊆A⊆M_n(K) et soit T ={u∈M_n(K)|[u,A]⊆B}.

Soit x∈T tel que :

(∗) Tr(xu) = 0, ∀u∈T.

Alors x est nilpotent.

D´emonstration du lemme. — D’apr`es la d´ecomposition de Jordan, x se d´e- compose dans M_n(K) de fa¸con unique en :

x=s+n,

avec s semi-simple, n nilpotent, et sn = ns; de plus s= Q(x) o`u Q ∈ K[X]

est un polynˆome sans terme constant (voir, par exemple, [Hu, Prop. 4.2]).

Soit B = (e₁, . . . , e_n) une base de Kⁿ dans laquelle la matrice de s est diagonale, de termes diagonauxλ₁, . . . , λ_n.

Soit E le sous-Q-espace vectoriel de K engendr´e par les λ_i. Il s’agit de montrer que E = 0. Pour cela, il suffit de montrer que le Q-espace vectoriel dual

E^∗= Hom_Q(E,Q)

est nul. Soit donc f : E → Q une forme lin´eaire. D’apr`es le th´eor`eme d’in- terpolation de Lagrange, il existe un polynˆome P_f ∈ K[X] tel que P(0) = 0 et

P_f(λ_i−λ_j) =f(λ_i−λ_j).

Soit x_f l’endomorphisme deKⁿ d´efini par x_f(e_i) =f(λ_i)e_i. Alors, on a

(†) adx_f = P_f(adx).

En effet, soient E_ij les matrices ´el´ementaires correspondant `a la baseB. Alors, d’une part,

(adx_f)(E_ij) = (f(λ_i)−f(λ_j))E_ij =f(λ_i−λ_j)E_ij, et, d’autre part, (ads)(E_ij) = (λ_i−λ_j)E_ij et donc

P_f(ads)(E_ij) = P_f(λ_i−λ_j)E_ij =f(λ_i−λ_j)E_ij.

Ceci prouve (†). D’autre part, comme adsest la partie semi-simple de adx, il existe R∈K[X], sans terme constant, tel que ads= R(adx). Alors,

adx_f = P_f(ads) = P_f(R(adx))

est un polynˆome en adx sans terme constant. Comme (adx)(A) ⊆ B, il en r´esulte que

(adx_f)(A)⊆B, c.-`a-d., x_f ∈T.

Alors l’hypoth`ese (∗) entraˆıne :

0 = Tr(xx_f) = Xn

i=1

f(λ_i)λ_i,

le terme de droite ´etant un ´el´ement de E. Appliquant la forme lin´eairef : E→ Q, on obtient

0 = Xn

i=1

f(λ_i)².

Comme les f(λ_i) sont des rationnels, ceci implique f(λ_i) = 0 pour touti, et donc la forme lin´eairef est nulle.

Ceci montre que E = 0, et doncλ_i = 0 pour touti. Ceci prouve le lemme, et ach`eve la preuve du th´eor`eme 6.15.

Corollaire 6.17(Critère de résolubilité de Cartan). — Soient g une K-alg`ebre de Lie de dimension finie. Si

Tr_g((adx)(ady)) = 0, ∀x∈g, y∈D(g), alors g est r´esoluble.

D´emonstration. — D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent appliqu´e `a ad(g) ⊆ gl(g), on obtient que ad(g) est r´esoluble. Comme Ker ad =z(g) est ab´elien, il r´esulte de la suite exacte

0−→z(g)−→g−→ad(g)−→0 que gest r´esoluble (d’apr`es la proposition 4.13).

Théorème 6.18(Critère de semi-simplicité de Cartan). — Soit g une K-alg`ebre de Lie de dimension finie. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

a)La forme de Killing K_g est non d´eg´en´er´ee.

b) g est somme directe d’id´eaux simples.

c)g est semi-simple, c.-`a-d., ne contient pas d’id´eal r´esoluble6= 0.

D´emonstration. — On a d´ej`a vu que les implications a)⇒b)⇒c) sont vraies sur un corps arbitraire (propositions 6.13 et 6.4). Montrons que c)⇒ a) pour Kde caract´eristique nulle.

Supposons que g ne contienne pas d’id´eal r´esoluble 6= 0. En particulier, z(g) = 0 et doncg s’identifie `a ad(g)⊆gl(g).

Notonsh le noyau de la forme de Killing ; c’est un id´eal deg (6.8) et pour toutx∈hl’on a

0 = K_g(x, y) = Tr_g((adx)(ady)), ∀y ∈g,

donc a fortiori pour tout y ∈ D(h). Par cons´equent, il r´esulte du th´eor`eme 6.15 quehest r´esoluble, d’o`u h= 0. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

7. D´ecomposition de Jordan et d´erivations

7.1. D´erivations. — Soit k un corps arbitraire. On rappelle la d´efinition suivante (cf. 1.3).

Définition 7.1. — Soit A unek-alg`ebrearbitraire, c.-`a-d., unk-espace vectoriel A muni d’une applicationk-bilin´eaire

A×A−→k, (a, b)7→a·b.

On dit que D∈End_k(A) est une d´erivation de A si :

∀a, b∈A, D(a·b) = D(a)·b+a·D(b).

Alors, les d´erivations de A forment un sous-espace vectoriel de End_k(A), not´e D´er_k(A).

De plus, la proposition 1.25 se g´en´eralise comme suit.

Proposition 7.2. — D´er_k(A)est une sous-alg`ebre de Lie de End_k(A).

D´emonstration. — Identique `a celle de la proposition 1.25.

Lemme 7.3. — SoientD∈D´er_k(A) etλ, µ∈k. Pour toutn∈N^∗, et a, b∈A, l’on a :

(D−λ−µ)ⁿ(ab) = Xn

i=0

µn i

¶

(D−λ)ⁱ(a)·(D−µ)ⁿ⁻ⁱ(b).

D´emonstration. — Pour n= 1, la formule

(D−λ−µ)(a·b) = (D−λ)(a)·b+a·(D−µ)(b)

d´ecoule imm´ediatement du fait que D est une d´erivation. Le cas g´en´eral s’en d´eduit par r´ecurrence sur n.

Soitg unek-alg`ebre de Lie. Comme adxest une d´erivation deg, pour tout x∈g, alors le morphisme d’alg`ebres de Lie

ad :g−→End_k(g) est `a valeurs dans D´er_k(g).

Définition 7.4. — Les d´erivations adx, pour x ∈g, sont appel´ees les d´eriva- tions int´erieuresde g.

Lemme 7.5. — SoientD∈D´er_k(g) et x∈g. Alors,

(∗) [D,adx] = ad D(x).

Par cons´equent, adg est un id´eal de D´er_k(g).

D´emonstration. — Pour tout y∈g, on a :

([D,adx])(y) = D([x, y])−[x,D(y)] = [D(x), y].

Ceci montre que [D,adx] = ad D(x).

D’autre part, le noyau de ad est le centre z(g) de g. Donc, si z(g) = (0), alorsg s’identifie `a l’alg`ebre de Lie adg des d´erivations int´erieures deg.

D´esormais, on suppose dim_kg<∞.

Théorème 7.6. — Supposons la forme de KillingK_g non d´eg´en´er´ee. Alors, g∼= adg= D´er_k(g).

En particulier, toute d´erivation de g est int´erieure.

D´emonstration. — Comme K_g est non d´eg´en´er´ee, alors z(g) = (0), d’o`u g ∼= adg. Pour l’´egalit´e adg= D´er_k(g), donnons deux d´emonstrations.

1`ere d´emonstration. Soit D ∈D´er_k(g). Consid´erons la forme lin´eaire sur g donn´ee par

Y7→Tr_g(D◦ad(Y)).

Comme K = K_g est non d´eg´en´er´ee, il existe un unique X∈gtel que K(X,Y) = Tr_g(D◦ad(Y)), ∀Y∈g.

Montrons que D = ad(X). D’apr`es le lemme 7.5, on a :

(∗) ad D(Y) = D◦ad(Y)−ad(Y)◦D.

Donc, pour tout Z∈g, K(D(Y),Z) ´egale :

Tr(ad D(Y) ad(Z)) = Tr(D◦ad(Y)◦ad(Z))−Tr(ad(Y)◦D◦ad(Z))

= Tr(D◦ad(Y)◦ad(Z))−Tr(D◦ad(Z)◦ad(Y))

= Tr(D◦ad([Y,Z])) = K(X,[Y,Z]) = K([X,Y],Z).

Comme K est non d´eg´en´er´ee, ceci entraˆıne D(Y) = [X,Y], pour tout Y, d’o`u D = ad(X).

2`eme d´emonstration. D’apr`es le lemme 7.5, A := adg est un id´eal de D :=

D´er_k(g) ; notons I = A^⊥ son orthogonal pour la forme de Killing K_D de D.

Alors I est un id´eal de D, et on a l’´egalit´e«bien connue» : (†) dim_kA + dim_kI = dim_kD+ dim_kKer K_D.

D’autre part, d’apr`es la proposition 6.13, la restriction `a A×A de K_D co¨ıncide avec K_A, qui est non d´eg´en´er´ee puisque A∼=g. Il en r´esulte que

A∩I = (0).

Comme A et I sont des id´eaux, ceci entraˆıne [I,A] = 0. Donc, pour tout D∈I, on a d’apr`es (∗) :

0 = [D,adx] = ad D(x), ∀x∈g.

Comme ad est injective, il vient D(x) = 0 pour tout x ∈ g, et donc D = 0.

Ceci montre que I = 0, et alors (†) entraˆıne queD = A.

Corollaire 7.7. — SoientKun corps de caract´eristique nulle etguneK-alg`ebre de Lie de dimension finie semi-simple. Alors

g∼= adg= D´er_K(g).

D´emonstration. — Ceci r´esulte des th´eor`emes 6.18 et 7.6.

7.2. D´ecomposition de Jordan. — Dans ce paragraphe, le corps de base k est suppos´e alg´ebriquement clos. Soit V un k-espace vectoriel. Pour un

´eventuel usage ult´erieur, on va ´enoncer ci-dessous plusieurs versions de la d´e- composition de Jordan.

On n’aura besoin dans l’imm´ediat que de la d´ecomposition de Jordan dans End_k(V), pour V de dimension finie. Commen¸cons par la d´efinition suivante.

Définition 7.8. — On dit quea∈End_k(V) est :

1) localement fini si, pour toutv ∈ V, le sous-espace engendr´e par lesaⁱv, i>0, est de dimension finie.

2) semi-simple si V admet une base form´ee de vecteurs propres de a. Si dim_kV < ∞, ceci ´equivaut `a : a est racine d’un polynˆome P ∈ k[T] sans racines multiples.

3) nilpotent, resp.localement nilpotent, s’il existe n >0 tel que aⁿ = 0, resp. si pour toutv∈V il existen >0 tel queaⁿv = 0.

4)unipotent, resp.localement unipotent, si (a−1)ⁿ= 0 pour un certain n >0, resp. si pour toutv∈V il existen >0 tel que (a−1)ⁿv= 0.

Remarque 7.9. — Supposons dim_kV = d <∞. Si a∈End_k(V) est nilpotent (resp. unipotent), toutes ses valeurs propres sont nulles (resp. ´egales `a 1) et donc son polynˆome caract´eristique est X^d (resp. (X−1)^d) ; par cons´equent on a :

a^d= 0, resp. (a−1)^d= 0.

Lemme 7.10. — Supposons quea, b∈End_k(V) commutent.

1)Si a, b sont semi-simples, alors a+b etab le sont aussi.

2)Si a, b sont nilpotents, alors a+b et able sont aussi.

3)Si a, b sont unipotents, alors ab l’est aussi.

D´emonstration. — 1) On voit facilement que b laisse stables les espaces propres de a, et donc V admet une base form´ee de vecteurs propres communs

`a aetb. L’assertion en d´ecoule.

2) Il existe ntel queaⁿ= 0 =bⁿ. Alors (ab)ⁿ= 0 = (a+b)²ⁿ.

3) Il existe n tel que (a−1)ⁿ = 0 = (b−1)ⁿ. Alors, comme ab−1 = (a−1)b+b−1, on a (ab−1)²ⁿ= 0.

Proposition 7.11(Décomposition de Jordan additive). — On suppose V de di- mension finie. Soit a∈End_k(V).

(1) Il existe a_s semi-simple et a_n nilpotent, tels que a_sa_n = a_na_s et a = a_s+a_n. Ces propri´et´es d´eterminent uniquementa_seta_n. L’´ecriturea=a_s+a_n s’appelle la d´ecomposition de Jordan (additive) dea.

(2) Il existe des polynˆomes P,Q sans termes constants tels que a_s = P(a) et a_n= Q(a). Par cons´equent, siW⁰⊆Wsont des sous-espaces de V tels que a(W)⊆W⁰, on a aussi

a_s(W)⊆W⁰, a_n(W)⊆W⁰.

(3) Si b∈End(V) commute `a ail commute aussi `a a_s et a_n.

(4) Soient E un sous-espace de V stable par a, et W = V/E. Alors E est stable par a_s et a_n, et a_|E = a_s|E+a_n|E et a_|W = a_s|W +a_n|W sont les d´ecompositions de Jordan de a_|E et a_|W.

D´emonstration. — On renvoie `a [Hu,§4.2] pour les points (1)–(3). Montrons le point (4).

Si E esta-stable et si W = V/E, il est clair quea_n|Eeta_n|Wsont nilpotents, et a_s|E et a_s|W sont semi-simples car annul´es par le polynˆome minimal de a, qui est sans racines multiples. ´Evidemment,a_s|E eta_n|Ecommutent, de mˆeme que a_s|W et a_n|W. Donc, par unicit´e,a_|E=a_s|E+a_n|E eta_|W =a_s|W+a_n|W sont les d´ecompositions de Jordan dea_|Eeta_|W.

Corollaire 7.12(Décomposition de Jordan multiplicative) On suppose V de dimension finie. Soita∈GL(V).

(1⁰) Il existe a_s semi-simple et a_u unipotent, tels que a = a_sa_u = a_ua_s. Ces propri´et´es d´eterminent uniquement a_s et a_u; a_s est la partie semi-simple de a d´efinie plus haut, et a_u = id +a⁻¹_s a_n. L’´ecriture a = a_sa_u s’appelle la d´ecomposition de Jordan multiplicative de a.

(3⁰) Si b∈End_k(V) commute `aa il commute aussi `a a_s et a_u.

(4⁰) Soient E un sous-espace de V stable par a et W = V/E. Alors E est stable par a_s et a_u, et a_|E =a_s|Ea_u|E et a_|W =a_s|Wa_u|W sont les d´ecomposi- tions de Jordan de a_|E et a_|W.