TD d’analyse spectrale et analyse fonctionnelle 2018-2019

TD d’analyse spectrale et analyse fonctionnelle 2018-2019

TD3 - Correction

Exo 8

On ´enonce une version non d´enombrable de

Th´eor`eme 1. (Banach-Steinhauss) Soit(T_λ)λ∈Λ une famille d’applications lin´eaires con- tinues d’un espace de Banach E dans un espace vectoriel norm´e F, param´etr´ee selon un ensemble Λ quelconque. On suppose que la famille est born´ee simplement:

∀x∈E,∃C_x >0,∀λ∈Λ, kT_λ(x)k ≤C_x. Alors elle est born´ee uniform´ement :

∃C >0,∀λ∈Λ, kT_λk ≤C

1. Siaest continue, les applications partielles sont clairement continues. R´eciproquement, supposons que les applications partielles sont continues. Notons B_E la boule unit´e deE etBF celle deF. On va montrer queaest born´e sur BE×BF, ce qui prouvera la continuit´e dea. Pour x ∈E, l’application a_x :y 7→a(x, y) est lin´eaire continue, donc elle est born´ee sur E:

∃C_x >0,∀y ∈B_F, ka_x(y)k=ka(x, y)k ≤C_x.

Pour y ∈ F, on note de mˆeme a_y(x) := a(x, y) l’application partielle. L’in´egalit´e pr´ec´edente se r´e´ecrit

∀x∈E,∃C_x >0,∀y∈B_F, ka_y(x)k ≤C_x.

Par Banach-Steinhauss, appliqu´ee `a la famille (a_y)_y∈BF, on a :

∃C > 0,∀y ∈B_F, ka_yk ≤C, ce qui garantie :

∀y∈B_F,∀x∈B_E, ka(x, y)k ≤C, ce qui implique la continuit´e de a.

1

2. On prend P_n(x) = xⁿ et Q_n(x) = P_n⁰(x) = nxⁿ⁻¹. On a alors par un calcul de primitive :

a(P_n, Q_n) = 1 2, tandis quekP_nk₁ = _n+1¹ etkP_n⁰k₁ = 1. Ainsi

a(P_n, Q_n)

kP_nk₁kQ_nk₁ = n+ 1

2 →

n→+∞+∞, ce qui implique quea n’est pas continue.

Exo 10

1. Il est clair quek·k_C¹ est plus fine quek·k∞. Pour que les normes soient ´equivalentes, il faut montrer que on peut contrˆoler kf⁰k∞ par kfk∞, lorsque f ∈ F. Autrement dit, on veut montrer que l’application D : (F,k · k_∞) → (E,k · k_∞), d´efinie par D(f) = f⁰, est continue. Puisque F est un sev ferm´e de E, qui est complet pour k · k∞, F est aussi complet pour cette norme. On va donc appliquer le th´eor`eme du graphe ferm´e `a D. Notons Gr(D) le graphe, et soit ((f_n, f_n⁰))_n∈N une suite du graphe qui converge vers (f, g) pour la norme du graphe, c’est-`a-dire qu’il existe (f, g)∈F ×E tels que







kf_n−fk∞ →

n→+∞0 kf_n⁰ −gk∞ →

n→+∞0

par un r´esultat de convergence sur les suites de fonctions, ceci implique que g =f⁰ (savez-vous le d´emontrer?). Ainsi (f, g) = (f, f⁰) ∈ Gr(D). Ceci prouve que le graphe est ferm´e, et donc que D est continue, ainsi

∃C >0,∀f ∈F, kf⁰k∞ ≤Ckfk∞

et donc

∀f ∈F, kfk_C¹ ≤(1 +C)kfk∞

ce qui conclue `a l’´equivalence des normes.

2. Appliquer le th´eor`eme d’Ascoli.

3. La question pr´ec´edente montre que la boule unit´e ferm´ee de F est compacte, ainsi F est de dimension finie d’apr`es le th´eor`eme de Riesz.

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