Enoncé A733 (Diophante) Pesée(s) minimale(s)
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et occupent des places consécutives. Les 74 autres pièces ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Q1 Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer une seule pièce fausse.
Q2 Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Une pesée suffit.
Je compare les pièces 26 et 52. En cas d’inégalité, la plus légère est fausse.
En cas d’égalité, les deux pièces ne sont pas fausses (la séquence de 26 à 52 a 27 pièces) ; les pièces fausses ne sont pas dans les rangs 1 à 25, ni 27 à 51 (séquences de 25 pièces seulement) ; elles sont entre 53 et 100 ; que ce soit de 53 à 78, ou de 75 à 100, ou toute disposition intermédiaire, on repère comme fausses les pièces 75 à 78.
Question 2
Il se peut qu’une pesée suffise, si la première pesée est équilibrée. Sinon, une pesée supplémentaire identifie au moins 12 autres pièces fausses.
Supposant la comparaison pièce 26 – pièce 52 déséquilibrée, avec par exemple pièce 26 plus légère, je compare les pièces 14 et 39. S’il y a égalité, les pièces fausses sont les pièces 14 à 39. Si la pièce 14 est plus légère, les pièces 14 à 26 sont fausses ; si la pièce 39 est plus légère, les pièces 26 à 39 sont fausses.
Si la pièce 26 est plus lourde que la pièce 52, ce sont les pièces 40 et 65 que je compare dans la deuxième pesée.
