Correction exercice 12 – Probabilités Dans un lot de 100 pièces de monnaies, toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 12 1/2 T

ÒT

P ÒP

ÒP P

1 2 1 2 1 4

3 4

6 10 4 10

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 12 – Probabilités

Dans un lot de 100 pièces de monnaies, toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.

La probabilité d’apparition de "Pile" lors d’un jet de pièce truquée est 3 4 La probabilité d’appartition de "Pile" lors d’un jet de pièce

équilibrée est 1 2

Les différents lancers sont indépendants les une des autres.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On prend une pièce au hasard et on la lance.

On appelle T l’événement "la pièce est truquée" et P l’événement :"on obtient Pile"

D’après l’énoncé p(T)=0,4 pT(P)=3

4 et pÒT(P)=1 2 a. Calculer la probabilité d’obtenir " Pile"

P est la réunion des événements incompatibles P∩T et P∩ÒT

donc p(P)=p (P∩T)+p

(

)

( )

10×3 4+ 6

10×1 2=3

5 La probabilité d’obtenir "PILE" est donc 3

5

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenue "PILE" ?

pP(T)=p(P∩T) p(P) =

4 10׳

4 3 5

=1

2 La probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenue "P" est 1 2

2. On prend une pièce au hasard et on la lance 4 fois. Si, au cours des 4 lancers, on obtient 4 fois "PILE", on décide d’éliminer la pièce. Dans le cas contraire, on conserve la pièce. On note E l’événement "la pièce est éliminée". Alors E=(P, P, P,P)

a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée ? La pièce choisie est équilibrée. Lors d’un lancer, la probabilité d’obtenir "PILE" est donc 1

2 donc la probabilité d’obtenir 4 fois "PILE", sachant que les lancers successifs sont indépendants et identiques, est







 1 2

4= 1

16 donc PÒT (E)= 1

16.

La probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée est donc 1 16 .

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est truquée ? La pièce étant truquée, la probabilité d’obtenir "PILE" est 3

4 donc la probabilité d’obtenir 4 fois "PILE", sachant que les lancers successifs sont indépendants et identiques, est







 3 4

4

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 12 2/2 La probabilité qu’elle soit conservée est donc 1−



 3 4

4 =175

256=P_T

( )

c. Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir éliminée ou d’avoir pris une pièce truquée et de l’avoir conservée ?

L’événement "la pièce est équilibrée et éliminée" est l’événement ÒT∩E.

L’événement "la pièce est truquée et conservée" est l’événement T∩ÒE.

Les événements ÒT∩E et T∩ÒE sont incompatibles donc la probabilité p cherchée est p=p(ÒT∩E)+p(T∩ÒE)=p(ÒT)×PÒT (E)+p (T)×PT

( )

10× 1 16+ 4

10×175

256=199 640 La probabilité qu’une pièce équilibrée soit éliminée ou truquée soit conservée est 199

640