A733. Pesée(s) minimale(s)
Problème proposé par Bernard Vignes
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et occupent des places consécutives. Les 74 autres pièces ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Q₁ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer une seule pièce fausse.
Q₂ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses
Solution proposée par Jean-Louis Margot:
On répartit les pièces en 3 segments :
AB 26 pièces, BC 48 pièces et CD 26 pièces
Comme les 26 pièces fausses occupent des espaces contigus, soit AB, soit CD ne compte que des vraies pièces.
On compare AB et CD : si les poids sont égaux, AB et CD ne comportent que des pièces vraies, sinon le segment le plus lourd ne comporte que des pièces vraies.
On enlève un segment de pièces vraies. On se retrouve avec 74 pièces dont 26 pièces fausses contigües.
On découpe ces pièces restantes en 3 segments : 24 pièces, 26 pièces, 24 pièces
Comme précédemment on compare et . Si les poids sont égaux, alors toutes les pièces de sont fausses.
Sinon, l’un des segments (le plus léger), par exemple contient des pièces fausses. Comme ne peut contenir toutes les pièces fausses (elles sont 26), une partie des pièces est dans . Comme les pièces fausses sont contigües, la dernière pièce de et la première pièce de sont fausses.
Si c’est qui contient des pièces fausses, alors symétriquement, la dernière pièce de et la première pièce de sont fausses.
Les questions 1 et 2 sont donc résolues en 2 pesées.
