A713 : Revenons à la bonne vieille balance Roberval…
La somme des poids de 1 à n est égale à n(n+1)/2, et cet ensemble ne peut être divisé en deux sous-ensembles de somme égale que pour n entier de la forme 4k ou 4k-1.
Cela étant, on pourra trouver dans chaque sous-ensemble une paire de poids donnant la même somme si les poids sont convenablement intercalés, ce que nous formulerons précisément par la condition C:
A et B désignant les deux sous-ensembles, partition de {1,…n}, si A contient n, il existe au moins deux éléments distincts de B supérieurs au plus petit élément de A
ou bien, si B contient 1, il existe au moins deux éléments distincts de A inférieurs au plus grand élément de B.
En effet, par exemple dans le premier cas, si b est le plus grand élément de B, b+1 appartient à A, et si a+1 est le plus petit élément de B supérieur à un élément de A, a appartient à A, et a+1 ne peut être égal à b ; on a bien a+(b+1)=(a+1)+b. Raisonnement symétrique pour la condition symétrique…
Il reste à examiner dans quel cas la condition C n’est pas respectée.
Ce sera le cas si tous les éléments de A sont supérieurs à ceux de B, c’est à dire s’il existe p tel que B contienne les poids de 1 à p, et alors on doit avoir n(n+1)/2=p(p+1), ce qui peut encore s’écrire (2n+1)2=2(2p+1)2-1. L’équation de Fermat-Pell u2=2v2-1 admet une infinité de solutions, obtenues à partir de u0=v0=1 par les relations de récurrence uk+1=3uk+4vk et vk+1=2uk+3vk, soit (7,5), (41,29)… qui correspondent aux valeurs de n : 3, 20, 119,… pour lesquelles un nombre triangulaire est le double d’un autre (on
constate que 100 n’y figure pas).
La condition C ne serait également pas respectée si un seul élément de A était inférieur à un seul élément de B, c’est à dire s’il existait q tel que B contienne les poids 1 ,…, q-1, q+1. d’où n(n+1)/2=q(q+1)+2 ou encore (2n+1)2=2(2q+1)2+15. Mais cette équation n’a pas de solution : en examinant les congruences modulo r= 3 ou 5, on arrive à une contradiction : le second membre est divisible par r, mais pas par r2, tandis que le premier est un carré…
