A 723. La preuve par x, y, z. 1er épisode. *****
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact d’au moins un objet avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple :
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faudrait un pesée supplémentaire pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Quand n est égal respectivement à 8, 54 et 2015, Zig affirme que x, y et z pesées lui suffisent. Puce toujours sceptique devant les fanfaronnades de Zig demande une preuve pour chacune des expériences. Trouver ces preuves et donner les valeurs correspondantes de x, y et z.
Pour les plus courageux : pour n quelconque, trouver une borne supérieure b(n) du nombre minimal de pesées permettant de démontrer le poids exact d'au moins l'un des n objets.
Solution proposée par Michel Lafond:
Notons le nème nombre triangulaire.
Si n = 8
Zig effectue les deux pesées suivantes : P1 : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8 et P2 : 7 < 8 Puce voit : P1 : et P2 :
Après P1, il en déduit donc {p, q} = {7, 8} seul cas possible.
Après P2, Puce sait donc que p = 7 et q = 8.
Si n = 54
Zig effectue les deux pesées suivantes : P1 : 1 + 2 + 3 + … + 14 < 53 + 54 et P2 : 53 < 54 Puce voit : P1 : et P2 :
Après P1, il en déduit donc {p, q} = {52, 54} ou {53, 54} seuls cas possibles.
Après P2, Puce sait donc que q = 54.
Si n = 2015
On a : et 1067 + 2015 = 3082. et 946 + 1067 = 2013.
Zig effectue les deux pesées suivantes :
P1 : 1 + 2 + 3 + … + 78 < 1067 + 2015 et P2 : 1 + 2 + 3 + … + 43 + 1067 < 2015
Puce voit : P1 : et P2 : Après P1, il en déduit donc :
{p, q} = {1067, 2015} avec
{p, q} = {1068, 2014} ou {1068, 2015} avec
{p, q} = {1069, 2013} ou {1068, 2014} ou {1068, 2015} avec etc.
Après P2, Puce sait que donc Ce n’est possible que si q = 2015 que Puce connaît maintenant.
Démontrons dans le cas général que pour tout n, b (n) = 4 pesées suffisent.
On sait depuis Fermat que tout entier est somme de trois nombres triangulaires.
Par ailleurs, on peut supposer
On a donc Étudions plusieurs cas selon le nombre d’éléments distincts parmi a, b, c.
A) a, b, c sont tous distincts. Donc a > b > c.
A1) c = 0. Donc Zig effectue les 3 pesées
P1 : P2 : et P3 : P3 est possible car .
Après P1 et P2, Puce sait que donc Après P3, Puce voit n sur le plateau droit de P3.
A2) . Donc Zig effectue les 4 pesées
P1 : P2 : et P3 : P4 :
P4 est possible car .
Après P1, P2 et P3, Puce sait que donc Après P4, Puce voit n sur le plateau droit de P4.
B) b = c mais a est différent. Donc a > b.
B1) b = 0. Donc Zig effectue les 3 pesées
P1 : P2 : et P3 : P3 est possible car . [Aucun nombre triangulaire n’est égal à 2]
Après P1 et P2, Puce sait que donc Après P3, Puce voit n sur le plateau droit de P3.
B2) . Donc Zig effectue les 4 pesées
P1 : P2 : et P3 : P4 :
P4 est possible car . [ entrainerait a = 0 ce qui est exclus].
Après P1, P2 et P3, Puce sait que donc Après P4, Puce voit n sur le plateau droit de P4.
C) a = b mais c est différent. Donc a > c.
C1) c = 0. Donc Zig effectue les 3 pesées
P1 : P2 : P3 :
P4 est possible car . [ entrainerait n = 4].
Après P1, P2 et P3, Puce sait que donc [Puce ne sait pas que r = 1]
Après P4, Puce voit n sur le plateau droit de P4.
C2) . Donc a > c.
Zig effectue les 4 pesées
P1 : P2 : et P3 : P4 :
P4 est possible car . [ entrainerait c = 0 a = 1 donc n = 4].
Après P1, P2 et P3, Puce sait que donc Après P4, Puce voit n sur le plateau droit de P4.
D) a = b = c. Donc est multiple de 3.
Dans ce cas, on recommence le raisonnement, mais avec au lieu de n – 2.
On aura des cas à peu près semblables aux cas précédents, mais cette fois on n’arrivera pas au cas D) : puisque n – 2 est déjà multiples de 3].
