D327 : Le cube et la mouche (casse-tête décembre 2008)
Casse-tête proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Un cube dʼarête 10 cm est placé dans un globe en verre assimilé à une sphère de diamètre D dont le centre est confondu avec celui du cube. Quand une mouche se pose par hasard sur le globe, elle peut voir, selon les cas, une, deux ou trois faces du cube.
Chose remarquable, la mouche a la même probabilité de voir une face ou trois faces. En déduire le diamètre D.
Soit a l’arête du cube, et x, y et z les probabilités (rapport de la surface de la zone à celle de la sphère) de voir une, deux ou trois faces données du cube (dans le cas où cela est possible, puisqu’on ne peut voir à la fois une face et la face opposée).
Un cube ayant 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets, il y a 6 zones où l’on ne voit qu’une face, 12 où l’on en voit deux, et 8 où l’on en voit trois.
Compte tenu des symétries, nous avons donc : 6x+12y+8z=1 et comme par hypothèse 6x=8z, 12(x+y)=1.
Depuis la surface de la tranche de sphère comprise entre les plans de deux faces opposées du cube, on ne peut voir ces deux faces, donc on voit soit une face (quatre possibilités), soit deux faces (quatre possibilités). Le rapport de la surface de cette tranche à celle de la sphère est égale à a/D, donc 4(x+y)=a/D.
On en déduit que a/D=1/3, soit D= 3a = 30 cm
