D327. Casse-tête de décembre 2008
Ce casse-tête est proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Un cube d'arête 10 est placé dans un globe en verre assimilé à une sphère de diamètre dont le centre est confondu avec celui du cube. Quand une mouche se pose par hasard sur le globe, elle peut voir, selon les cas, une, deux ou trois faces du cube. Chose remarquable, la mouche a la même probabilité de voir une face ou trois faces. En déduire le diamètre .
Solution
Proposée par Fabien Gigante
La projection du cube sur la sphère partage sa surface en 6 régions « carrés » de surface d’où la mouche ne peut apercevoir qu’une seule face du cube, 12 régions « rectangles » de surface d’où elle peut apercevoir deux faces, et 8 régions « triangulaires » de surface d’où elle voit trois faces.
On note la surface totale de la sphère, la surface d’une calotte sphérique formée par l’un des cercles de projection. On a alors :
6 12 8 4 4
6 8
3 3 4 0
On note 10 le côté du cube et le diamètre de la sphère. Il vient et
.
3 3 La sphère est de diamètre 30 .
y x z
