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DEMONSTRATION DU THEOREME DE PYTHAGORE
A partir de quatre triangles rectangles identiques, on obtient la figure ci-dessous, sur laquelle A,M,B sont alignés de même que B,N,C , de même que C,O D , de même que D,P,A.
On notera a la longueur commune des segments [MB], [NC], [OD] et [PA]
On notera b la longueur commune des segments [AM], [BN], [CO] et [DP]
On notera c la longueur commune des segments [MN], [NO], [OP] et [PM]
1. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
2. Démontrer que l’angle PMN est un angle droit. En déduire la nature du quadrilatère MNOP.
3. Exprimer l’aire de MNOP en fonction de c ;
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On dispose maintenant les quatre triangles rectangles comme sur la figure ci-dessous afin que EFGH soit un carré.
4. Expliquer pourquoi les carrés ABCD et EFGH ont la même aire.
5. Que dire des aires des carrés bleu et vert par rapport à l’aire du carré MNOP de la figure précédente ?
6. En déduire une relation entre a, b et c
7. Enoncer la propriété démontrée : c’est le théorème de Pythagore.
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Théorème de Pythagore
I. Théorème de Pythagore :
1. Théorème de Pythagore
2. Exemples d’utilisation du théorème de Pythagore.
On connaît 2 côtés du triangle rectangle, il permet de calculer la longueur du troisième côté.
i) Le triangle ALI est rectangle en A.
ii) Son hypoténuse est [IL].
iii) Le théorème de Pythagore permet d’écrire : IL² = AI² + AL²
iv) D’après les données, on a:
AI=12 et AL=9 donc IL² = 144+81
= 225 donc IL = 15 cm
II. Réciproque du théorème de Pythagore
1. Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore : B
A C
Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2=AB2+AC2.
P M
N
i) Le triangle MNP est rectangle en P.
ii) Son hypoténuse est [MN].
iii) Le théorème de Pythagore permet d’écrire
MN² = MP² + PN² iv) D’après les données, on a:
MN=6,5 et MP=3,3 donc 6,5² = 3,3²+PN²
42,25= 10,89+PN² on a PN² = 42,25-10,89
= 31,36
donc PN = 5,6 cm
A
L I
9 12
?
3,3 6,5
?
C
Si le triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2 Alors il est rectangle en A.
A B
C
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2. Méthode : Savoir si un triangle est rectangle ou non.
On donne les longueurs des 3 côtés d’un triangle ABC, le triangle est-il rectangle ?
i) On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.
ii) On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
iii) S’il y a égalité, la réciproque permet d’affirmer que le triangle est rectangle. S’il y a inégalité, le triangle n’est pas rectangle.
3. Exemples rédigés : Les triangles suivants sont-ils rectangles ?
i) [BC] est le plus grand côté.
ii) On calcule BC2=7,3² = 53,29.
On calcule AB2+AC2 = 4,8²+5,5² = 53,29 iii) On compare : on a l’égalité BC²=AB²+AC² d’après la réciproque de l’énoncé de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
R
S T
4 6
7
i) [ST] est le plus grand côté.
ii) On calcule ST2=7² = 49.
On calcule RS2+RT2 = 4²+6² = 52 iii) On compare : on a ST² ≠ RS²+RT² donc le triangle RST n’est pas rectangle.
A
B C
4,8 5,5
7,3
