Casse-tête de mai 2010
A l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC, côtés inclus, on place un nombre arbitraire de points qui permettent de partager le triangle ABC en triangles plus petits
adjacents entre eux comme dans la figure ci-contre. Les sommets des triangles sont désignés par les lettres A, B et C de façon totalement
arbitraire à l'exception des sommets situés sur les côtés du triangle ABC pour lesquels il est interdit d'utiliser la lettre du sommet opposé au côté.
Montrer que parmi les petits triangles, l'un d'eux est toujours désigné par ABC.
Solution
Montrons, par récurrence sur le nombre N de points, que le théorème suivant : Soient N points d’un triangle ABC (autres que A, B, C), sommets de triangles
adjacents (à saturation) et désignés par les lettres A, B, C (à l'exception des sommets situés sur les côtés du triangle ABC pour lesquels il est interdit d'utiliser la lettre du sommet opposé au côté), alors, quel que soit le mode de désignation, l’un (au moins) des triangles est désigné par ABC.
Le théorème est vrai pour N = 0 et aussi pour N = 1. Supposons le vrai pour N et considérons une situation comprenant N+1.
Choisissons arbitrairement un petit triangle : ou il est de type ABC ou il ne l’est pas. Dans ce second cas, l’un de ses côtés est de type AA, BB, ou CC.
Contractons ce côté pour faire coïncider ses deux extrémités pour ne garder qu’un seul point (de même désignation). Dans cette opération, un sommet disparaît ainsi que deux ou trois côtés et une ou deux faces mais tous les autres triangles subsistent et, par hypothèse de récurrence, un des triangles qui restent est de type ABC.
Ainsi, dans les deux cas envisagés, un des triangles est de type ABC.
Remarque : Notons s le nombre de points (sommets) en jeu, a le nombre de côtés (arêtes), f le nombre de triangles (faces) et c le nombre de sommets (autres que A, B, C) situés sur les côtés du triangle ABC.
Alors, lorsque c = 0, nous avons les deux égalités a = 3s – 6 et f = 2s –5, un peu plus contraignantes que la simple relation de Descartes-Euler f + s = a + 1 (où la face extérieure n’est pas comptée).
Lorsque c n’est pas nul, il y a lieu de distinguer les sommets strictement intérieurs au triangle, en nombre noté i et les trois sommets ABC. Alors, nous avons les deux égalités a = 3i + 2c + 3 et f = 2i + c + 1.
