Casse-tête de Diophante
septembre 2007 - proposé par Dominique Roux
Quels sont respectivement le côté du plus grand carré et le rayon du plus grand cercle que l’on peut inscrire dans un cube de côté unité ?
Le plus grand carré
Intéressons nous au plan IJK, où I et J sont les milieux respectifs de BF et DH et K est sur AB. Ainsi le plan AEGC est un plan de symétrie de la figure.
M N
P L
Notons x la longueur ML. Alors PL = √2 – x et le rectangle KLMN est un carré pour x2 = 1 + (√2 – x)2, ou encore 2x√2 = 3 ; soit x = 3/2√2 = 1,060 ….
Je ne crois pas qu’on puisse faire mieux !
Le plus grand cercle
La figure ci-dessus illustre une ellipse tangente au six faces d’un cube. Elle est inscrite dans l’hexagone intersection du plan de l’ellipse avec les faces du cube.
Intéressons nous au plan IJK, où I et J sont les milieux respectifs de BF et DH et K est sur AB. Ainsi le plan AEGC est un plan de symétrie de la figure.
L’ellipse inscrite dans l’hexagone est un cercle lorsque l’hexagone est régulier.
C’est-à-dire lorsque K est au milieu de AB. Le diamètre de ce cercle vaut √3/√2, soit 1,2247… .
On ne peut pas faire mieux car ce cercle correspond au plus grand cercle que l’on peut inscrire dans le contour apparent du cube vu perpendiculairement à la diagonale EC.
