Casse-tête de mars 2014
On colorie avec quatre couleurs distinctes les points des côtés d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit sont de longueur unité. Déterminer la plus petite distance possible qui sépare les deux points monochromatiques les plus éloignés l’un de l’autre.
Mêmes questions avec cinq couleurs, six couleurs, sept couleurs...
Solution proposée par Jean Nicot
Il n’y a aucun avantage à ce que les points d’une même couleur ne forment pas un ensemble connexe. On note C le nombre de couleurs et dC la distance recherchée.
Cas de 4 couleurs
A un angle aigu du triangle, on fait aboutir deux segments de même couleur de longueur d. Même chose pour le second angle. La troisième couleur sur le côté de l’angle droit et la quatrième sur le reste de l’hypoténuse.
1 = d
4+ (1-d
4)/
√ soit d4= 2-
√ = 0,58578Pour la quatrième couleur, la distance est √ -2d4 = 3√ -4 qui est inférieure à d4. On augmente cette valeur jusqu’à d4 en réduisant d’autant une des pointes de l’hypoténuse, ce qui ne modifie pas le maximum de la couleur concernée.
Cas de 5 couleurs
L’hypoténuse doit avoir 3 couleurs et chaque côté de l’angle droit 2. On doit avoir d5 = ½, avec deux
couleurs aboutissant au sommet de l’angle droit. On ne peut avoir une valeur plus faible pour colorier un côté de l’angle droit.
d
5= ½
Comme précédemment, on augmente jusqu’à d
5la longueur de la partie médiane de l’hypoténuse.
Cas de 6 couleurs
L’hypoténuse doit avoir 3 couleurs et d6 vaut √ /3 = 0,4714. Cette valeur ne peut être diminuée et suffit pour les côtés de l’angle droit en prolongeant un peu les couleurs des extrémités de l’hypoténuse.
d
6=
√ /3 = 0,4714Cas de 7 couleurs
L’hypoténuse doit avoir 4 couleurs et d7 pourrait valoir √ /4 = 0,3535. Sur un côté de l’angle droit, on doit aussi avoir 2 d7 + d7/ √ = 1 soit d7 = (4 - √ )/7 = 0,3694 valeur qui ne peut être diminuée
et qui suffit pour l’hypoténuse, en réduisant la longueur des couleurs de ses extrémités.
