D334-Casse-tête pour un rangement Soit le cube ABCDA’B’C’D’ de côté = 15
On parvient à ranger le parallélépipède rectangle 4 x 5 x 18 dans le cube ABCDA’B’C’D’ si on sait le ranger dans un parallélépipède rectangle EFGHE’F’G’H’ de hauteur 15 et dont la trace sur ABCD est le rectangle EFGH de côtés 5 et 15 2 - 2.5,avec AEH triangle rectangle isocèle d’hypoténuse égale à 5.
Le problème se ramène à inscrire un triangle rectangle UVW dont les côtés UW et VW de l’angle droit sont respectivement de longueurs 18 et 4. Son hypoténuse égale à 2 85 passe par le centre O d’un rectangle PQRS dont le côté PQ égal à EF est sur la diagonale AC de la face ABCD du cube et le côté QR est égal à la hauteur du parallélépipède rectangle
EFGHE’F’G’H’ = 15.Pour ce faire, on trace le cercle de centre O et de rayon 2
4 182 2
= 85 qui coupe les côtés PQ et RS respectivement en U et V. Un deuxième cercle de centre V et de rayon 4 coupe ce cercle en un point W tel que UW = 18.
La figure ci-dessus réalisée avec le logiciel Geogebra montre que ce point W est bien à l’intérieur du rectangle PQRS.Soit X la projection de W sur RS. On a VX = - 4cos( RVW).
Comme RVU = arcsin(15/2 85 ) et UVW = arctang(18/4), on en déduit RVW =
arcsin(15/2 85 ) + arctang(18/4). D’où VX = 2,6718209... < VS = RS/2 – UV.cos(RVU)/2
= 7.5 2 – 2.5 – 85 cos(arcsin(15/2 85 ) = 2,744699...
Nota ; avec un rectangle EFGH dont le côté EF est égal à 4, on vérifie que le parallélépipède 4 x 5 x 18 ne peut pas être logé dans le cube de côté 15.
