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Enoncé D287 (Diophante) Les complexes du quadrilatère Dans le plan complexe

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Academic year: 2022

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Enoncé D287 (Diophante) Les complexes du quadrilatère

Dans le plan complexeOxy, on trace du côté desxpositifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées. On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A, B, C et D qui ont respectivement pour affixesa, b, cetd. Que devient le quadrilatère ABCD quand les produitsabetcdsont égaux ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin SoientI etJ les milieux des arcs AB etCD.

Modulo 2π, 2(Ox, OI) = arg(ab) = arg(cd) = 2(Ox, OJ), donc I et J, alignés avec O, sont confondus. Le diamètre passant par I est axe de symétrie du quadrilatère et, s’il fait avec Ox l’angle θ, on peut écrire

a, b= 1 + exp(iθ±iα),c, d= 1 + exp(iθ±iγ), car le centre du cercle unité a pour affixe 1.

La condition ab = cd donne alors α = ±γ modulo π, d’où la conclusion : les segmentsAB etCD coïncident.

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