D286. Les complexes du quadrilatère
Dans le plan complexe Oxy, on trace du côté des x positifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées. On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A,B,C et D qui ont respectivement pour affixes a,b,c et d. Que devient le quadrilatère ABCD quand les produits ab et cd sont égaux ?
Solution proposée par Ali SOUA
Les complexes a,b,c et d ont pour modules les distances OA, OB, OC et OD. Considérons leurs arguments α,β,ϒ et δ qui par construction appartiennent à l’intervalle ]-π/2,π/2[.
a*b=c*d OA*OB=OC*OD (1) et α+β=ϒ+δ (2)
soit O’ le centre du cercle contenant A,B,C et D. Le triangle OO’A est isocèle ayant deux côtés égaux de longueur unité et deux angles égaux à α, donc OA=2*cosα, de même : OB=2*cosβ, OC=2*cosϒ et OD=2*cosδ.
L’équation (1) devient : cosα * cosβ = cosϒ * cosδ (3)
En prenant le cosinus de l’égalité (2) => cos(α+β)=cos(ϒ+δ) (4)
Or cos(α+β)=cosα * cosβ - sinα * sinβ, donc (4)et(3) => sinα * sinβ = sinϒ * sinδ (5).
En divisant terme à terme les égalités (5) et (3), on obtient : tanα * tanβ = tanϒ * tanδ (6).
En repartant de l’égalité (2), on peut écrire : tan(α+β)=tan(ϒ+δ) (7)
Comme tan(α+β)=(tanα + tanβ)/(1-tanα*tanβ), (7) et (6) => tanα + tanβ = tanϒ + tanδ (8) On pose x= tanα, y= tanβ, z= tanϒ et t= tanδ
Les équations (6) et (8) deviennent : x*y=z*t (9) et x+y=z+t=K (10)
(9) x*(K-x) = z*(K-z) (x-K/2)2 – K2/4 = (z-K/2)2 –K2/4 (x-K/2)2 = (z-K/2)2 x=z ou x=-z+K x=z ou x=t, soit en substituant dans (10) : (x=z et y=t) ou (x=t et y=z) (tanα= tanϒ et tanβ= tanδ) ou (tanα= tanδ et tanβ=tanϒ)
sachant que la fonction tangente est une bijection de ]-π/2,π/2[ sur IR, on déduit :
(α=ϒ et β=δ) ou (α=δ et β=ϒ). Or pour un argument donné, correspond un seul point du cercle considéré.
Par conséquent : (A=C et B=D) ou (A=D et B=C). Le quadrilatère ABCD est réduit à un segment. Le cas extrême est A=B=C=D.
