2de Corrigé du devoir en temps libre n° 6
Exercice 1 : un peu de sport
Notons A, B et C les centres respectifs des trois cercles de rayon r=3,5 cm et O le centre du grand cercle contenant les trois cercles précédents et tangent à ceux-ci.
• Hauteur de la boîte :
Elle est égale au diamètre d’une balle soit 7 cm.
• Rayon du grand cercle :
On a AB = BC = CA = 7 cm donc le triangle ABC est équilatéral.
Le point O centre du grand cercle est aussi le centre de gravité du triangle ABC.
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a est égale à 3 2
a donc la
hauteur du triangle ABC est égale à 7 3 2 cm.
Le point O est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Or dans un triangle équilatéral, les médianes et les hauteurs sont confondues donc 2 7 3 AO= ×3 2 c’est-à-dire 7 3
AO= 3 cm.
Le rayon du grand cercle est donc égal à 7 7 3
2+ 3 cm ou encore 21 14 3 6
+ cm.
Conclusion :
la hauteur de la boîte mesure 7 cm ;
le rayon du disque de base mesure 21 14 3 6
+ cm soit environ 7,54 cm.
• Patron de la boîte :
Le patron est constitué d’un rectangle et de deux disques tangents de part et d’autre aux plus grands côtés du rectangle.
Dimension réelle en cm (valeur exacte)
Dimension réelle en cm (valeur approchée)
Dimension à l’echelle 1
4
en cm rayon d’un disque 21 14 3
6
+ 7,54 1,89
longueur du rectangle 21 14 3
2π× +6 47,38 11,85
largeur du rectangle 7 1,75
Exercice 2 : bonne année !
En écrivant de gauche à droite :
• de 1 à 9, on a 9 nombres à un chiffre donc 9 chiffres
• de 10 à 99, on a 90 nombres à deux chiffres donc 180 chiffres
• de 100 à 999, on a 900 nombres à trois chiffres donc 2700 chiffres ;
Or 9 + 180 = 189 et 9 + 180 +2700 + 2899 donc le 2008ième chiffre cherché fait partie d’un nombre à trois chiffres.
189 chiffres
1234567891011...99
2008 189 1819− = : le chiffre cherché est alors le 1819ième chiffre écrit après le dernier neuf de 99.
1819= ×3 606 1+ : le chiffre cherché est alors le chiffre des centaines du 607ième nombre de trois chiffres.
Or le 607ième nombre de trois chiffres est 99 + 607 c’est-à-dire 706.
189 chiffres 1818 chiffres
1234567891011...99100101...705706
Conclusion : le 2008ième chiffre de la liste est 7.
