D286 Les complexes du quadrilatère
Dans le plan complexe Oxy, on trace du côté des x positifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées.On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A,B,C et D qui ont respectivement pour affixes a,b,c et d. Que devient le quadrilatère ABCD quand les produits ab et cd sont égaux ?
Soit Γ le cercle sur lequel doivent se situer les 4 points A,B,C,D.
Si ab = cd et si c ≠ O , d = b*(a/c) donc la similitude directe de centre O, de rapport OA/OC et d'angle (OC, OA) transforme C en A, B en D, et le cercle Γ en un cercle Γ' qui passe par O et A.
Il faut D = Γ∩ Γ ' donc D est en O ou en A.
Si D=A, B=C , le quadrilatère se réduit au segment AC.
Si D= O, B=O , le quadrilatère se réduit au triangle OAC.
Si c=0, ab=0, le quadrilatère devient :
-le triangle OAD si b=0 et ad ≠ O, le triangle OBD si a=0 et bd≠ O, -le segment OD si a et b sont nuls et d ≠ O,
-le seul point O si a,b,c,d sont tous nuls .
