Casse-tête de Diophante
novembre 2010
Tracer six arcs de cercles dont le nombre total d'extrémités est le plus petit possible, tels que deux arcs quelconques ont un point en commun et un seul (qui peut être l'extrémité d'un arc ou des deux, ou être intérieur à chacun), sans qu'aucun point ne soit commun à trois arcs ou plus.
Solution
Voici une figure constituée d’un cercle tangent à cinq arcs de cercles, en étoile, ayant pour extrémités les sommets d’un pentagone régulier.
Partant de là, tout est question de convention :
- si l’on convient qu’un cercle est un arc de cercle sans extrémité, alors le nombre de points extrémités d’un (ou plusieurs) arc(s) de cercle est cinq ;
- si l’on n’admet pas qu’un cercle est un arc de cercle sans extrémité, mais que l’on convient qu’un cercle avec un point marqué est un arc de cercle ayant ses deux extrémités confondues, alors le nombre de points extrémités d’un (ou plusieurs) arc(s) de cercle est six ;
- si l’on admet pas qu’un cercle est un arc de cercle, alors il faut modifier le cercle ci-dessus en un arc de 359,999 degré (ou autre) et, ainsi, le nombre de points extrémités d’un (ou plusieurs) arc(s) de cercle est sept.
A posteriori, Diophante m’a signalé la page :
http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_thrackle_conjecture
Pour le plaisir, voici une figure composées d’arcs de cercles de rayons r et 2r, tangents ou orthogonaux deux à deux.
