Chapitre 9
Angles orientés
1/ Définitions
Une unité de longueur est choisie.
a) Cercle trigonométrique, mesures d’un arc
On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1, muni d’une origine et orienté dans le sens inverse des ai- guilles d’une montre. Ce sens est appelé sens direct ou sens trigonométrique.
Soit C un cercle trigonométrique de centre O et d’origine A. À tout réel x, on peut associer un unique point M du cercle en « enroulant » la droite des réels autour du cercle.
On dit que x est une mesure de l’arc orienté AM . Définition
Remarque : Un point correspond à une infinité de réels.
Exemple : Le point A est associé aux réels 0, 2π, 4π, − 2π... Le point B est associé aux réels π
2 , 5π 2 , − 3π
2 ... Le point A
′est associé aux réels π, 3π, − π...
O A
B
A
′B
′|
x
|
1
|
x
M
|b) Mesures d’un angle orienté de vecteurs Étant donnés deux vecteurs non nuls − →
u et − →
v et un cercle trigonométrique C de centre O, on appelle A le point d’intersection de C et de la droite (O, − →
u ) et B le point d’intersection de C et de la droite (O, − →
v ).
On appelle mesure de l’angle orienté ( − → u , − →
v ) toute mesure de l’arc orienté AB.
Si x est une de ces mesures, toute autre mesure s’écrit y = x + 2kπ avec k ∈ Z.
On note (de façon abusive) : ( − → u , − →
v ) = x + k × 2π, k ∈ Z . Définition
0
A B
−
→ u
−
→ v
On appelle mesure principale de ( − → u , − →
v ), l’unique mesure appartenant à ] − π; π].
Définition
48 Chapitre 9
Exemple : Déterminer la mesure principale d’un angle dont une mesure est 126π 5 126π
5 = 12 × 10π + 6π
5 = 12 × 2π + 6π
5 = 12 × 2π + 2π − 4π 5 = − 4π
5 + 13 × 2π La mesure principale de cet angle est donc − 4π
5 .
2/ Propriétés
a) Angles et colinéarité Soient − →
u et − →
v deux vecteurs non nuls.
−
→ u et − →
v sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( − → u , − →
v ) = 0 + 2kπ.
−
→ u et − →
v sont colinéaires et de sens contraires si et seulement si ( − → u , − →
v ) = π + 2kπ.
Propriété
−
→ u
−
→ v
−
→ u
−
→ v π
b) Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls − →
u , − → v et − →
w : ( − →
u , − → v ) + ( − →
v , − → w ) = ( − →
u , − →
w ) + 2kπ Propriété
−
→ u
− → v
−
→ w
Exemple : Dans la figure suivante, démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
( − − → AB , − −→
CD ) = ( − − → AB , − − →
BC ) + ( − − → BC , − −→
CD ) + 2kπ
= π 3 + 2π
3 + 2kπ = π + 2kπ Les vecteurs − − →
AB et − − →
CD sont donc colinéaires.
Conclusion : (AB) et (CD) sont parallèles. A B
C D
π 3 2π
3
