D354 ‒ Le cube
Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ? Solution par Patrick Gordon
Si l'on prend ce plan horizontal comme un des plans du repère orthonormé de référence, les calculs sont très compliqués.
Il vaut mieux faire l'inverse : dans un repère orthonormé Oxyz, on prendra le sommet A à
l'origine et le cube "calé" sur les faces du repère et l'on fera varier le plan autour de l'origine. Soit q le côté du cube. Les coordonnées des sommets sont alors :
A (0, 0, 0) B (q, 0, 0) C (q, q, 0) D (0, q, 0) A' (0, 0, q) B' (q, 0, q) C' (q, q, q) D' (0, q, q)
Soit un plan P passant par l'origine, donc d'équation ux + vy + wz = 0 (avec u² + v² + w² = 1), qui joue le rôle du plan horizontal de l'énoncé (il serait horizontal dans un autre repère).
Les distances des sommets à ce plan sont :
a = 0 b = uq c = (u+v)q d = vq a' = wq b' = (u+w)q c' = (u+v+w)q d' = (v+w)q
On cherche u, v, w, q tels que ces distances vaillent 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
On ne restreint pas la généralité en supposant que u ≤ v ≤ w et donc que b = uq = 1.
On ne peut pas alors avoir c = 2, car vq (= d) serait aussi = 1. Mais on peut avoir d = vq = 2, d'où c = (u+v)q = 3.
Avec a' = wq = 4, on a bien :
a' = wq = 4 b' = (u+w)q = 5 c' = (u+v+w)q = 7 d' = (v+w)q = 6.
En définitive donc :
uq = 1 vq = 2 wq = 4
répondent à la question.
Mais les coefficients u, v, w sont définis moyennant la condition u² + v² + w² = 1, d'où : u²q² + v² q² + w² q² = q² = 1² +2² + 4² = 21 et donc :
q = √21.
