C f laourbereprésentative de f dans un repère orthonormé

On onsidère la fontion

f

^{dénie par :}

pour tout réel

x, f(x) = 1

e

2 x + 1 .

On note

C _f

laourbereprésentative de

f

^{dans un repère orthonormé}

O

,

−

→ ı ,

−

→



.

Partie A

1. a. Donner

lim

x →−∞

f (x)

^et

lim

x →+∞ f (x)

^.

b. On en déduit que

C _f

admet deux asymptotes, notées

∆ 1

^et

∆ 2

^.

Donner leurs équationsrespetives.

2. a.

f ^′

^{désigne ladérivée de}

f

^.

Justierque, pour tout réel

x, f ^′ (x) = − 2

^e

^{2 x} (

^e

^2x + 1) ²

.

b. Dresser letableau des variations de

f

^.

3. a. Donner lesvaleurs de

f(0)

^{et de}

f ^′ (0)

^.

b. Déterminer une équation de la tangente

T 0

^à

C _f

aupoint d'absisse

0

^.

4. Traer les droites

∆ 1

^,

∆ 2

^,

T 0

^{puis laourbe}

C _f

. Partie B

On onsidère les intégrales

I

^et

J

^déniespar

I =

Z 1

−1

1

e

2x + 1

^d

x

^et

J = Z 1

−1

e

2x

e

2x + 1

^d

x.

1. On onsidère lesfontions

h

^et

H

^{dénies par :}

pour tout réel

x, h ( x ) =

^e

2 x

e

2 x + 1

^et

H ( x ) = 1

2 ln

^e

^2x + 1 .

a. Justierl'égalité : e

2 + 1

e

−2 + 1 =

^e

²

^.

b. Justier que

H

^{est une primitivede}

h

^.

. Déduire des questions préédentes que

J = 1

^{. Détailler lealul.}

2. Caluler lasomme

I + J

^{.Détailler le alul.}

3. En déduirela valeur de

I

^.

4. Hahurer, sur lagure de laquestion A 4.,le domainedont l'aire,en unités d'aire,vaut

I

^.