D334 – Un rangement hypothétique
Problème proposé par Michel Lafond
Peut-on mettre un parallélépipède de dimensions 4 × 5 × 18 dans le cube de côté 15 ? Solution par Patrick Gordon
Il convient de se demander tout d'abord si le rangement peut être fait avec une face du parallélépipède parallèle à une face du cube (le problème est alors à 2 dimensions).
Si a et b sont les longueurs des deux arêtes "dans le plan", il faudrait pour cela que a + b < 15
× √2 ≈ 21,21 et que, naturellement, la troisième arête ait une longueur < 15, ce qui ne laisse que les couples (a, b) = (4 et 18) et (5 et 18), dont aucun ne satisfait la condition.
On cherchera donc une solution à 3 dimensions.
Naturellement, c'est la plus longue arête du parallélépipède (celle de longueur 18) qui sera placée dans la diagonale du cube. Soit donc PQRS une "petite" face du parallélépipède que l'on placera selon la figure suivante :
La boîte étant cubique, on peut rechercher des solutions symétriques par rapport au plan bissecteur du dièdre xOy et noter comme suit les coordonnées de P et Q (avec x > y pour fixer les idées) :
P (x, y, 0) Q (y, x, 0).
On montre aisément que celles de R et S sont alors :
R (0, x–y, z) S (x–y, 0, z).
On exprime ensuite que PQ et PS valent 4 et 5 ou 5 et 4, ce qui permet de calculer par exemple y et z en fonction de x. La recherche d'un solution n'est donc plus qu'un problème à une inconnue.
Pour que le parallélépipède (4, 5, 18) tienne dans la boîte cubique, il suffit que le
parallélépipède PQRSP'Q'R'S' (où P'Q'R'S' est le symétrique du rectangle PQRS par rapport au centre du cube) ait ses arêtes PP' QQ' RR' SS' de longueur ≥ 18.
Or les coordonnées de P'Q'R'S' se déduisent de celles de PQRS par l'opération "15 – …" et peuvent donc être exprimées en fonction du seul paramètre x.
Au moyen d'un tableur, on cherche par tâtonnements la valeur de x qui donne PP' = RR'.
Pour PQ = 4 et PS = 5 (pour fixer les idées), on trouve :
x 5,0079 y 2,1795 z 3,937 PP' 19,055
Comme la valeur de PP' trouvée est > 18, la réponse est OUI.
On pourrait même caser dans un cube d'arête 15 un parallélépipède (4, 5, 19)
