D354. Le cube
Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets. Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm. Quel est le côté du cube ?
Deux sommets symétriques par rapport au centre du cube ont des cotes de somme égale à 7. Les sommets de cote (0 et 7) ou (1 et 6) ou (2 et 5) ou (3 et 4) sont opposés.
Pour chaque face carrée, les deux sommes des cotes des sommets diagonalement opposés sont égales :
A une isométrie près un seul assortiment est possible :
0+3=1+2, 0+6=2+4, 0+5=4+1, et 7+4=5+6, 7+1=3+5, 7+2 =3+6.
D'où l'aspect du cube : face inférieure ABCD, face supérieure EFGH avec les cotes indiquées :
Soit le repère orthonormé (Ax,Ay,Az) avec D sur Ax, B sur Ay, et G sur Az. Soit h la longueur des côtés du cube. Les coordonnées de D, B, G sont (h,0,0), (0,h,0), (0,0,h). L'équation du plan
''horizontal'' passant par A est : ax+by+cz = 0 où on suppose que a²+b²+c²=1 et a>0, b>0, c>0.
En écrivant les distances de D,B,G à ce plan on a ah=2, bh=1, ch=4, (ah)²+(bh)²+(ch)² = 4+1+16 Donc h² = 21. Le côté du cube mesure √21.
Dans la figure ci dessous, le cube est représenté vu de dessus.
Tout segment joignant deux points de côtes k2 et k1, et qui, dans l'espace, a pour longueur L, est représenté par un segment de longueur l =
√
(L² –(k2−k1)²) .Dans l'espace, BD = √21 √2 = √42, sa projection mesure √(42 – 1) = √41. On place le segment BD Les projections de BA et DA mesurent √(21 – 1) = √20 et √(21 – 4) = √17. On place le point A.
Les projections de AG et BG mesurent √(21 – 16) = √5 et √(42 – 9) = √33. On place le point G.
Dès que B, D, A, G sont placés, on termine aisément la construction.
