Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale

(1)

D 339. Passage au centre.

Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale.

Mêmes questions quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier puis par un octaèdre régulier.

Solution proposée par Michel Lafond

Calculons d’abord dans le cas général la distance d du point M (i, j, k) à la droite  d’équations paramétriques x =  + a t y =  + b t z =  + c t t  R (1) (a, b, c) est un vecteur directeur unitaire de  donc a² + b² + c² = 1 (2)

G (, , ) est sur  et H (x, y, z) est la projection orthogonale de M sur .

Dans le triangle (MHG) on a MH² + HG² = MG² (3) avec : HG² = t² d’après (1) et (2)

MH² = (x – i)² + (y – j)² + (z – k)² = ( + a t – i)² + ( + b t – j)² + ( + c t – k)²

= ( – i)² + ( – j)² +( – k)² + t ² (a² + b² + c²) + 2 t [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)]

= ( – i)² + ( – j)² +( – k)² + t ² + 2 t [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)] d’après (2) MG² = ( – i)² + ( – j)² +( – k)².

En remplaçant MH² , HG² et MG² ci-dessus dans (3), on obtient après simplification :

2 t [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)] + 2 t ² = 0 d’où on tire t = – [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)].

Ainsi, d² = MH² = MG²– t ² = ( – i)² + ( – j)² + ( – k)²– [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)]² (4) Le cas du cube :

Prenons pour sommets les points (0, 0, 0) (0, 2, 0) (2, 0, 0) (2, 2, 0) (0, 0, 2) (0, 2, 2) (2, 0, 2) (2, 2, 2).

Le centre du cube G a pour coordonnées (1, 1, 1).

Calculons avec (4) les carrés des distances de ces sommets à la droite  d’équations paramétriques x = 1 + a t y = 1 + b t z = 1 + c t t  R. Ici,  = 1,  = 1,  = 1.

i j k  – i  – j  – k ( – i)² + ( – j)²

+( – k)² a ( – i) b ( – j) c ( – k) [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)]²

0 0 0 1 1 1 3 a b c a² + b² + c² + 2 (ab + bc + ca)

0 2 0 1 –1 1 3 a –b c a² + b² + c² + 2 (–ab – bc + ca)

2 0 0 –1 1 1 3 –a b c a² + b² + c² + 2 (–ab + bc – ca)

2 2 0 –1 –1 1 3 –a –b c a² + b² + c² + 2 (ab – bc – ca)

0 0 2 1 1 –1 3 a b –c a² + b² + c² + 2 (ab – bc – ca)

0 2 2 1 –1 –1 3 a –b –c a² + b² + c² + 2 (–ab + bc – ca)

2 0 2 –1 1 –1 3 –a b –c a² + b² + c² + 2 (–ab – bc + ca)

2 2 2 –1 –1 –1 3 –a –b –c a² + b² + c² + 2 (ab + bc + ca)

M (i, j, k)



H (x, y, z)

G (, , )

d

(2)

Il est clair que cette somme est égale à 8  3 – 8 (a² + b² + c²) = 16.

Ainsi, la somme des carrés des distances de G à  est constante et vaut 16 pour un cube de côté 2 donc 4 c² pour un cube de côté c.

Le cas du tétraèdre régulier :

Si le côté du tétraèdre mesure 2, on peut prendre pour coordonnées des sommets les valeurs indiquées sur le schéma ci dessus. Le centre G a pour coordonnées ( = 1,  = 3

3

1 ,  = 6

6 1 ).

Calculons avec (4) les carrés des distances de ces sommets à la droite  d’équations paramétriques x =  + a t y = + b t z =  + c t t  R.

Notons pour simplifier r3 = 3 r6 = 6 et r18 = 18.

i j k  – i  – j  – k

( – i)² + ( – j)² + ( – k)²

a ( – i) b ( – j) c ( – k) [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)]²

0 0 0 1 r3/3 r6 / 6 3 / 2 a b r3/3 c r6/6 a² + b² / 3 + c² / 6

+ 2 (ab /r3 + bc /r18+ ca /r6)

2 0 0 –1 ^r3/3 ^{r6 / 6} 3 / 2 –a ^{b r3/3} ^{c r6/6} ^a²^{+ b}²^{/ 3 + c}²^{/ 6}

+ 2 (–ab /r3 + bc /r18 – ca /r6)

1 r3 0 0 –2 r3/3 r6 / 6 3 / 2 0 –2 b r3/3 c r6/6 4 b² / 3 + c² / 6 – 4/r18 bc

0 r3/3 ^{2 r6 / 3} 0 ⁰ – r6 / 2 3 / 2 0 ⁰ – c r6/2 3 / 2 c²

Il est clair que cette somme est égale à 4 (3 / 2) – 2 (a² + b² + c²) = 4

Ainsi, la somme des carrés des distances de G à  est constante et vaut 4 pour un tétraèdre de côté 2 donc c² pour un tétraèdre de côté c.

Le cas de l’octaèdre régulier :

G (1, 1, 0)

(0, 0, 0) (2, 0, 0)

(0, 2, 0)

(2, 2, 0) (1, 1, 2)

G (1, 3 3

1 , 6 6 1 ) (1, 3

3

1 , 6 3 2 )

(0, 0, 0) (2, 0, 0)

(1, 3, 0)

(3)

On voit ci-dessus le haut de l’octaèdre.

Prenons pour sommets les points (0, 0, 0) (0, 2, 0) (2, 0, 0) (2, 2, 0) (1, 1, 2 ) et (1, 1, – 2 ).

Le centre G a pour coordonnées  = 1,  = 1,  = 0.

Calculons avec (4) les carrés des distances de ces sommets à la droite  d’équations paramétriques x = 1 + a t y = 1 + b t z = c t t  R.

i j k ^^{– i} ^^{– j} ^^{– k} ⁽^^{– i)}

2 + ( – j)²

+( – k)² a ( – i) b ( – j) c ( – k) [a ( – i) + b ( – j) + c ( – k)]²

0 0 0 1 1 0 2 a b 0 a² + b² + 2 ab

2 0 0 –1 1 0 2 –a b 0 a² + b²– 2ab

0 2 0 1 –1 0 2 a –b 0 a² + b²– 2ab

2 2 0 –1 –1 0 2 –a –b 0 ^a²^{+ b}²^{+ 2 ab}

1 1 2 0 0 – 2 2 0 0 – 2c 2 c²

1 1 – 2 0 0 2 2 0 0 2c 2 c²

Il est clair que cette somme est égale à 6  2 – 4 (a² + b² + c²) = 8.

Ainsi, la somme des carrés des distances de G à  est constante et vaut 8 pour un octaèdre de côté 2 donc 2 c² pour un octaèdre de côté c.