D339. Passage au centre
Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale.
Mêmes questions quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier puis par un octaèdre régulier.
Solution de Claude Felloneau
Toute droite qui passe par le centre convient pour un cube, un tétraèdre régulier ou un octa- èdre régulier car la somme correspondante ne dépend pas de la droite.
– Pour un cube A1A2A3A4A5A6A7A8de centreOet d’arêtea.
Soitdun droite passant parOet~uun vecteur directeur unitaire ded.
Pour 16i68, on noteA0i le projeté orthogonal deAi surdet on poseS=
8
X
i=1
AiA0i2. On aAiA0i2=O Ai2−O A0i2=3
4a2−³−−→O Ai·~u´2
.
Compte tenu de la symétrie du cube par rapport àO, on aS=6a2−2ToùT=
4
X
i=1
³O A−−→i·~u´2
. On en déduit queT=4³−→OI·~u´2
+2³−−→I A1·~u´2
+2³−−→I A2·~u´2
oùIle centre de la faceA1A2A3A4. On pose :
~i= 1 I A1
−−→I A1, ~j = 1 I A2
−−→I A2, ~k= 1 OI
OI−→.
³~i, ~j,~k´
est une base orthonormée de l’espace et on a :
−−→I A1= a
p2~i, −−→
I A2= a
p2~j, −→
I O=a 2~k Donc
T=a2 µ³
~i·~u´2
+³
~j·~u´2
+³
~k·~u´2¶
=a2∥~u∥2=a2. D’où
S=4a2.
– Pour un tétraèdre régulierABC Dde centreOet d’arêtea. On obtientS=3
2a2−T avec T =³−−→O A·~u´2
+³−−→OB·~u´2
+³OC−−→·~u´2
+³−−→OD·~u´2
. On en déduit que
T =4³−−→
OK·~u´2
+2³−→
LC·~u´2
+2³−−→
K B·~u´2
oùK etLsont les milieux respectifs des arêtesdbACecetdbB Dec. En posant
~i= 1 OK
OK−−→, ~j= 1 LC
−→LC, ~k= 1 K B
−−→K B,
page 1 / 2
on obtient une base orthonormée³
~i, ~j,~k´
de l’espace et on a :
−−→OK = a 2p
2
~i, −→LC=a
2~j, −−→K B=a 2~k Donc
T =a2 2
µ³
~i·~u´2
+³
~j·~u´2
+³
~k·~u´2¶
=a2
2 ∥~u∥2=a2 2 . D’où
S=a2.
– Pour un octaèdre régulier ABC DE F de centreO et d’arête a. En tenant compte de la symétrie par rapport àO, on obtientS=3a2−2T avec
T =³−−→
O A·~u´2
+³−−→
OB·~u´2
+³−−→
OE·~u´2
. En posant
~i = 1 O A
−−→O A, ~j= 1 OB
OB−−→, ~k= 1 OE
−−→OE, on obtient une base orthonormale³
~i,~j,~k´
de l’espace et on en déduit que T =a2
2 µ³
~i·~u´2
+³
~j·~u´2
+³
~k·~u´2¶
=a2
2 ∥~u∥2=a2 2 . D’où
S=2a2.
page 2 / 2
