D339. Passage au centre
Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale.
Mêmes questions quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier puis par un octaèdre régulier.
Solution de Maurice Bauval :
La somme des carrés des distances des sommets du cube à une droite passant par le centre s'interprète comme le moment d'inertie par rapport à cette droite d'un solide formé des 8 sommets du cube portant chacun une masse égale à un. Le cube est globalement invariant par toute rotation de kΠ/2 autour de tout axe joignant les centres de 2 faces opposées, il en est de même de l'ellipsoïde central d'inertie (E) qui est donc une sphère. Le moment d'inertie par rapport à une droite Δ passant par le centre ne dépend pas de la direction de Δ . C'est une constante, donc il n'y a ni maximum ni minimum.
Que dire de l'ellipsoïde central d'inertie (E) quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier ABCD ? Si G est le centre de gravité des 4 points A,B,C,D, L'ellipsoïde (E) admet pour plans de symétrie les plans AGB, AGC, AGD, il est globalement invariant dans les rotations de 2kΠ/3 autour de l'axe AG. L'ellipsoïde (E) est donc de révolution autour de l'axe AG. De même (E) est aussi de révolution autour des axes BG, CG, DG, et c'est donc encore une sphère. Comme dans le cas du cube, la somme des carrés des distances des sommets A,B,C,D à une droite Δ passant par G est une constante indépendante de la direction de cette droite.
L'octaèdre régulier présente les mêmes éléments de symétrie que le cube. Là encore l'ellipsoïde central d'inertie est une sphère. La somme des carrés des distances des 6 sommets à une droite Δ passant par le centre est une constante indépendante de la direction de cette droite.
