2. Droites
a) Positions relatives de deux droites
Dans l’espace deux droites peuvent être parallèles, sécantes (dans ces deux cas elles définissent un plan) ou non coplanaires (et dans ce cas aucun plan ne contient ces deux droites)
Pour parler du point d’intersection de deux droites, il faut d’abord s’assurer que ces droites appartiennent à un même plan
Dans le cube ci-dessus :
Paires de droites parallèles : ( )//( ), ( )//( )…
Paires de droites sécantes : ( ) et ( ), ( ) et ( ) (coplanaires dans le plan défini par les parallèles ( ) et ( ) …
Paires de droites non coplanaires : ( ) et ( ), ( ) et ( ) … b) Système d’équations paramétriques
Dans l’espace, une droite n’a pas d’équation. Pour caractériser une droite, on utilise la méthode suivante :
Soit (par exemple) (2 ; −1 ; 3) et ⃗(4 ; −2 ; 5), et appelons la droite passant par , dirigée par ⃗. Un point variable ( , , ) appartient à si et seulement si
⃗ et ⃗ sont colinéaires, donc si et ssi il existe un réel tel que ⃗ = ⃗. On obtient le système
− 2 = 4 + 1 = −2
− 3 = 5 soit
= 2 + 4
= −1 − 2
= 3 + 5
( ∈ ) Pour trouver des points de la droite, on donne des valeurs à
Pour savoir si un point est sur la droite, on cherche s’il y a une valeur de (la même pour , , ) qui correspond à ce point.
Inversement, tout système de la forme
= +
= +
= +
est un système d’équations paramétriques de la droite passant par le point ( , , ), dirigée par le vecteur
⃗( , , )
Le paramètre représente les graduations sur la droite, en mettant l’origine en , et en choisissant le vecteur ⃗ comme unité.
Si on choisit un autre ensemble que R, on aura une partie de la droite (une demi droite, ou un segment)
Pour la droite ( ), on peut choisir comme point de base n’importe lequel des points , , et comme vecteur ⃗ ou ⃗ (ou n’importe quel multiple non nul de
⃗ si on a l’esprit tordu). Les différents systèmes obtenus représentent tous la droite ( )
c) Recherche du point d’intersection de deux droites
On écrit les systèmes d’équations paramétriques des deux droites, avec un nom différent pour chaque paramètre. On écrit = , = , = , ce qui donne un système de 3 équations à 2 inconnues. Pour résoudre un tel système, on utilise deux équations, ce qui permet de trouver les inconnues. On regarde ensuite si la dernière équation est vérifiée (les droites sont sécantes) ou non (les droites ne le sont pas). Un exemple : reprenons la droite du b),
= 2 + 4
= −1 − 2
= 3 + 5
( ∈ ) et recherchons si elle coupe la droite ( ) où (1 ; 3 ; 2) et (4 ; −1 ; 5), donc
⃗(3 ; −4 ; 3) et un système d’équations paramétriques de ( ) est
= 1 + 3
= 3 −
= 2 + 5
( ∈ ). Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites
ne sont donc pas parallèles. On a donc le système
2 + 4 = 1 + 3
−1 − 2 = 3 − 3 + 5 = 2 + 5
. Si on ne garde que les deux premières équations, 2 + 4 = 1 + 3
−1 − 2 = 3 − , on résout par combinaisons : on élimine en multipliant la deuxième ligne par 2, puis en faisant la somme. Il vient 0 = 7 + donc = −7, on élimine en multipliant la deuxième ligne par 3, ce qui donne −1 − 2 = 10 donc = − . La troisième équation n’est alors pas vérifiée car 3 + 5 = − et 2 + 5 = −33. Les droites ne sont pas sécantes.
