Sur le centre des moyennes distances d'un groupe de points en ligne droite

N

F. G ^ONSETH

Sur le centre des moyennes distances d’un groupe de points en ligne droite

Nouvelles annales de mathématiques 4^e série, tome 17 (1917), p. 421-426

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[K9aa]

SUR LE CENTRE DES MOYENNES DISTANCES D'UN GROUPE DE POINTS EN LIGNE DROITE ;

PAR M. F. GONSETH.

1. Dans deux articles (*) parus ici même, j ' a i montré que la méthode projective peut s'appliquer à l'étude des groupes de droites qui ont même orienta- tion. La même méthode s'applique également à l'étude des groupes de points en ligne droite qui ont le même centre des moyennes distances. L'énoncé fonda- mental est le suivant :

Les groupes de points en ligne droite qui ont même centre des moyennes distances forment un système linéaire dont le point à Vinfini, compte' doublement, forme une paire neutre.

La démonstration est immédiate. Soient X\, ..., xn

les abscisses des points d'un groupe, comptées à partir du centre des moyennes distances. On aura toujours

xx - h x2 - H . . . - h xn = o.

Les x, sont donc racines de l'équation

2- } - A3a?"-3-h...-+- A „ = o,

dont le second coefficient est nul et les autres arbi- traires. Le système de ces groupes est bien linéaire.

(*) Quelques propriétés métriques, etc., et Sur l'orientation d'un groupe de droites.

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Pour tout groupe comprenantle point à l'infini, Ào est nui. Comme A, manque également et que les autres coefficients peuvent être choisis arbitrairement, le point à Tinfini, compté doublement, représente une paire neutre.

Le groupe fondamental (des n points où se réu- nissent tous les n points d'un groupe) auquel tous les groupes du système sont apolaires, se réduit au centre des moyennes distances, et au point à l'infini, compté n — i fois.

2. a. Les applications du principe sont immédiates.

Toutes les courbes de jilème ordre qui ont mêmes asymp- totes qu'une courbe Cn forment un système linéaire, le système linéaire de dimension minimale construit sur C7i et toutes les courbes de rcième ordre (dégénérées) comprenant la droite de l'infini comptée doublement.

Les n asymptotes en sont une courbe particulière.

Les courbes de ce système coupent une droite arbi- traire en des groupes de n points qui forment un sys- tème linéaire où le point de l'infini, double, est neutre (d'après un raisonnement qui intervient plusieurs fois dans les deux articles cités plus haut), et par consé- quent :

Les n points d'intersection d'une courbe CH par une droite arbitraire ont même centre des moyennes distances que les points d'intersection des n asymp- totes de C//.

Ce qui est un résultat très connu.

Parmi toutes les courbes de nlème ordre qui ont les mêmes asymptotes que C;i, il y en a une et par con- séquent ooN("-3*4-1 qui coupent une droite arbitraire

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en n points réunis au centre des moyennes distances des points d'intersection de Cn. Aucun autre point de la droite ne jouit de la même propriété.

b. Soient C< et C2 deux courbes de /iième ordre et soit d une droite qui les coupe, ainsi que toutes les courbes de leur faisceau, en des groupes de points ayant même centre des moyennes distances. Celui de ces groupes qui contient le point à l'infini de la droite ne peut le contenir simplement, car son centre des moyennes distances, et par conséquent celui de tous les groupes, serait lui-même à l'infini, ce qui n'est possible que si les courbes C{ et C2 se coupent au point à l'infini de d. En générai d sera donc une asymptote d'une courbe du faisceau.

L'enveloppe des droites coupant deux courbes de n^ièrne ordre C< et C² en des groupes admettant même centre des moyennes distances coïncide avec Venveloppe des asymptotes des courbes du faisceau de C{ et C2.

Cette enveloppe est de la classe zn — i.

3. a. Nommons homoasymp touque s deux courbes, ou deux surfaces ayant mêmes tangentes en leurs points à Tinfini. DAJVS L'ESPACE, les surfaces homoasymp- totiques à une surface donnée F„ forment un système linéaire, le système linéaire de dimension minimale comprenant Fⁿ et toutes les surfaces de n^lème ordre formées du plan double de l'infini, et d'une surface quelconque de (n — 2)^ièrae ordre.

Il est facile de vérifier que les surfaces de ce sys- tème coupent un plan quelconque suivant un système linéaire de courbes, de dimension ]N²(/? — 2 ) 4 - i, qui contient naturellement toutes les courbes de n^lème ordre

dégénérées en une courbe de (n— 2)ième ordre et le plan double de l'infini. Par conséquent :

Deux surfaces homoasymptotiques sont coupées par un plan arbitraire suivant deux courbes homo- asymp touques.

Deux surfaces homoasympto tiques sont coupées par une droite arbitraire suivant deux groupes de points qui ont le même centre des moyennes dis-

tances.

b. Les droites qui touchent ¥ⁿ à l'infini forment une congruence. On démontrera comme plus haut que :

Le complexe des droites qui coupent deux sur- faces de nièmc ordre suivant deux groupes ayant même centre des moyennes distances coïncide avec le complexe des droites asymptotiques à Vune ou Vautre des surfaces du faisceau des deux pre- mières.

Ce complexe est du degré [in — i).

4. L'énoncé fondamental du n° 1 et celui qui joue le môme rôle dans l'étude des groupes de droites ayant même orientation (*) sont deux cas spéciaux de l'énoncé projectif suivant (A, B seront deux points tixes, et P un point arbitrairement fixé) :

Les groupes de points Mn ..., M„, d'une droite d, pour lesquels le produit des rapports anharmo-

niques

(M1PAB)(M2PAB)...(M„PAB)

Voir les articles cités.

est constant, forment un système linéaire de dimen- sions n — i dans lequel la paire ÀB est neutre.

La valeur de la constante appartenant à chaque sys- tème semblable est une fonction de P. Son logarithme, en supposant que nous nous trouvions dans un espace non euclidien et que A. et B soient les deux points à l'infini de d, est égal à la somme des distances non euclidiennes de P aux points M/.

5. L'analogie des propriétés énoncées ci-dessus avec des propriétés bien connues (') des courbes confocales est évidente; les unes sont en réalité les corrélatives des autres. La symétrie, incomplète dans le plan eucli- dien par le fait que la conique absolue doit y être con- sidérée comme formée une fois de la droite double de l'infini et l'autre fois de la paire cyclique, devient parfaite dans le plan non euclidien où la conique absolue n'est pas dégénérée.

Ayant défini comme dans le plan euclidien Y orien- tation d'un groupe de droites par rapport à une droite donnée (avec la différence que dans le cas présent toutes les droites doivent passer par un même point), la notion corrélative sera la somme des distances d'un point P d'une droite à n points Mn ..., Mn de la même droite, somme que nous nommerons Yéloignement du groupe M,, ..., M„.

Nommons, enfin, comme il est naturel, confocales deux courbes de même classe qui ont les mêmes tan- gentes en commun avec la conique absolue Q, et foyer l'intersection de deux pareilles tangentes, homoasymp- totiques deux courbes de même ordre qui ont mêmes

(*) Voir les articles cités.

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points cTintersection avec Q, et droite focale la droite de jonction de deux points pareils. Il existe deux catégorie^ d'énoncés parallèles, dont la démonstra- tion est inutile, après ce qui précède :

Les groupes de tangentes menées d'un point arbitraire à deux courbes CONFOCALES ont même orientation. Une de ces courbes peut être formée de n foyers indépendants.

Le lieu des points, d'où les groupes de tangentes menées à deux courbes de classe n ont même orientation, coïncide avec le lieu des foyers des courbes du faisceau (tangentiel) des deux premières.

Les groupes de points d'intersection, par une droite, de deux courbes HOMOÀSYMPTOTIQUES ont même éloignement.

Une de ces courbes peut être formée de n droites focales indépendantes.

L'enveloppe des droites qui coupent deux courbes de nième

ordre en deux groupes de même éloignement coïncide avec Venveloppe des droites focales des courbes du faisceau {ponctuel) des deux premières.

Dans l'espace valent des énoncés semblables faciles à établir.