Points de torsion sur les courbes elliptiques

Points de torsion sur les courbes elliptiques

Colin Audrey, sous la direction de Andreas Höring

Remerciements

Je tiens à remercier toutes les personnes qui m’ont aidé à rédiger ce mémoire ; en particulier mon directeur Andreas Höring qui m’a épaulée tout au long de ce travail.

Table des matières

Remerciements 1

1 Courbes planes 4

1.1 Anneaux de polynômes . . . . 4

1.2 Courbes planes affines . . . . 4

1.3 Nombre d’intersection . . . . 6

1.4 Résultants . . . . 7

2 Courbes planes projectives 8 2.1 Plan projectif . . . . 8

2.2 La loi de groupe . . . . 9

2.3 Points rationnels . . . . 12

2.4 Une introduction aux nombres p-adiques . . . . 13

3 Théorie des courbes elliptiques 16 3.1 Définition d’une courbe elliptique . . . . 16

3.2 L’équation de Weierstrass d’une courbe elliptique . . . . 17

3.3 Réduction d’une courbe elliptique . . . . 19

3.4 Courbes elliptiques surQp . . . . 20

3.5 Points de torsion . . . . 22

Introduction

L’objectif de ce stage de mémoire d’environ de deux mois était de me permettre de faire mes pre- mières armes dans la théorie des courbes elliptiques, et plus précisément d’étudier la structure de l’en- semble des points de torsion sur des courbes rationnelles. J’ai orienté mon mémoire sur la démonstration d’un théorème fondamental : celui de LUTZ-NAGELL, qui permet de décrire l’ensemble des points de torsion d’une courbe elliptique à coefficients dansQ.

Si à la base une mise à niveau en gémoétrie projective fut nécessaire, il s’est avéré que des pré requis d’algèbre générale, puis essentiellement de théorie algébrique des nombres, fut indispensable pour faire comprendre, mieux que servilement, les propositions, théorèmes et les assertions logiques qui y sont associés. Au-delà de rédiger un cours de mathématique, j’ai essayé de m’approprier les définitions et démonstrations afférentes, afin d’éviter une formulation "elliptique" de mes raisonnements.

Dans cette optique, en m’appuyant en paticulier sur le cours de la théorie des courbes elliptiques de J.S MILNE, abordée dans son livre en version anglaise "ELLIPTIC CURVES" et également sur d’autres ouvrages cités en référence, j’ai essayé de traduire par ce qui suit, la "substantifique moelle" de mes recherches.

Pré requics

Seront supposés connu les notions algébriques de bases, analyse et topologique.

Notations

On utilisera les notations standards ;Zl’anneau des entiers,Qle corps des nombres rationnels, etFp

le corps avec p premier. Tout au long du mémoire, k sera un corps etk^alune clôture algébrique de k. Tous les anneaux seront supposés commutatifs avec 1 et pour un anneau A,A^× sera le groupe des inversibles de A ;A^×={a∈A|il existe b ∈A tel que ab=1}.

Pour k un coprs, on notera son caractéristique comme car(k).

On notera le plan affine surkcommeA²(k) =k×k.

X^{de f}= Y X est définie par Y, ou égual à Y par définition ; X⊂Y X est un sous ensemble de Y ;

X'Y X et Y sont isomorphes.

On rappelle qu’un corpskest dit parfait si pour toute extension algébriquek⊂k^p, p≥1,k^p=k.

On rapelle de plus qu’une corde est un segment de droite joignant deux points d’une circonférence.

Avant-propos

Nous allons énoncer la définition que nous utiliserons des courbes elliptiques, ainsi que le théorème central du mémoire. Ceux-ci seront bien entendu justifiés dans la suite.

0.0.1. Définition: Une courbe elliptique E définie sur un corps k est le lieu de zéros d’une équation homogène ; dite de Weierstrass, de la forme

E:={(x:y:z)∈P²|Y²Z=X³+aX Z²+bZ³,a,b∈k,4a³+27b²6=0}

Dans la suite, il sera utile de considérer la courbe dans le plan affineA², on utilisera alors l’équation : E:={(x,y)∈A²|Y²=X³+aX+b}

On noteraE(k)l’ensemble des zéros de cette équation dansP², et on distinguera le pointO= (0 : 1 : 0)∈E(k); dit point à l’infini.

La condition 4a³+27b²6=0 assure que la courbe ne contient aucun point dit singulier.

Les courbes elliptiques seront les objets principaux de ce mémoire, avec une attention particulière pour les courbes à coefficients dans Q. On verra que les courbes elliptiques ont des propriètés algébriques.

L’un des faits les plus surprenants est que siEest une courbe elliptique définie sur un corpsk, alorsE(k) est munie d’une structure de groupe abélien.

Par conséquent, on peut parler de points dit de torsion ; qui forment un sous-groupe deE(k)notéE(k)tors. 0.0.2. Définition:Un point P= (x:y:z)∈E(k)est dit de torsion, s’il est d’ordre fini ; i.e si il existe m∈Ztel que mP=O.

Le but de tout ce qui suit sera de démontrer le théorème de LUTZ-NAGELL, qui propose un algo- rithme permettant de compter les points de torsion d’une telle courbe, dans le cas oùk=Q.

0.0.3. Théorème:(LUTZ-NAGELL)

Soit la courbe elliptique E:Y²Z=X³+aX Z²+bZ³, avec a, b∈Z,∆=4a³+27b²6=0 Si P= (x:y: 1)∈E(Q)tors, alors x,y∈Zet soit y=0soit y|∆.

Chapitre 1

Courbes planes

Dans ce chapitre, nous verrons une partie de la théorie des courbes planes, en ometant des détails mais qui peuvent être trouvés dans Fulton 1969 et Walker 1950.

1.1 Anneaux de polynômes

On rappelle que les anneaux de polynômes sur un corpsksont factoriels ; i.e. qu’ils sont un domaine de factorisation unique. Donc dansk[X₁,· · ·,X_n], tout polynôme f peut être écrit comme le produit

f= f₁^m1· · ·f_r^mr

de puissance de polynôme irréductibles fi avec les fi qui ne sont pas une constante multiplicative de l’autre, et la factorisation est unique à une constante multiplicative d’un f_iprès.

Les facteurs répétés de f sont ceux des fiavecmi>1.

On rappelle de plus que si f est irréductible, alors l’idéal(f)est premier.

1.2 Courbes planes affines

1.2.1. Définition:Soit f ∈k[X,Y]un polynôme non constant qui n’a pas de facteurs répétés dans k^al. On définit une courbe affine plane sur k comme le lieu de zéros de f :

C_f(k):={(x,y)∈k²|f(x,y) =0}.

1.2.2. Remarque: Une courbe affine plane est une classe d’équivalence de polynômes non-constant dans k[X,Y]qui n’ont pas de facteurs répétés dans k^al[X,Y]; où deux polynômes sont dits équivalents si l’un est un multiple constant de l’autre.

Alors C_f dénote la classe d’équivalence qui contient f .

1.2.3. Définition:Une courbe affine plane est dite irréductible si son polynôme f l’est dans k[X,Y], et est dite géométriquement irréductible si le reste dans k^al.

Sinon, elle est dite réductible et on peut écrire

Cf(k) =Cf₁(k)∪. . .∪C_fr(k), où les f₁, . . . ,f_rsont les polynômes irréductibles de f .

On appelle les Cf_i, i∈ {1, . . . ,r}les composantes irréductibles de Cf.

1.2.4. Exemple: La courbeCf :X²−2Y² =0 est irréductible sur Q, mais devient le produit (X−

√

2Y)(X+√

2Y)dansQ[√

2], doncCf n’est pas géométriquement irréductible surQ.

1.2.5. Définition:Le degré de la courbe Cf est égal au degré du polynôme la définissant ; i.e. au degré de f .

Nous définissons les dérivées partielles d’un polynôme par les formules usuelles.

1.2.6. Définition:Un point P= (a,b)∈Cf(k)est dit singulier si les deux dérivées partielles de f sont nulles ; i.e.

∂f

∂x(a,b) =0et ∂f

∂y(a,b) =0.

Un point P est dit non-singulier si au moins une des deux dérivées partielles est non nulle, et dans ce cas la tangente à Cf en P est définie par :

(∂f

∂x)P(X−a) + (∂f

∂y)P(Y−b) =0

Une courbe Cf est dite non-singulière ou lisse si elle n’a pas de point singulier dans k.

1.2.7. Remarque:Un point d’intersection de deux composantes irréductibles d’une courbe affine plane est toujours singulier.

1.2.8. Exemple:On considère la courbeC:Y²=X³+aX+b. On suppose avoir un point singulier deC; i.e. un point(x,y)tel que∂Yf(x,y) =2y=0 et∂Xf(x,y) =3x²+a=0, où f(X,Y) =Y²−X³−aX−b

1. On supposecar(k)6=2. Alors on ay=0 etxest une racine de 3X²+aet deX³+aX+b.

Il en suit que :

C est lisse ⇐⇒ X³+aX+b n’a pas de racine dans k^al

⇐⇒ son déterminant∆=4a³+27b²6=0

2. On suppose car(k) =2. Alors l’égalité 2Y =0 est toujours vraie, doncC a toujours un point singulier dansk^al (α,β)qui vérifie :

3α²+a=0etβ²=α³+aα+b.

Dans la littérature, on définit les tangentes en des points non-singuliers. Cependant, nous aurons be- soin dans la suite de les définir en des points singuliers.

Nous procéderons de la manière suivante.

SoitP= (a,b)∈Cf(k). On peut écrire f comme un polynôme enX−aetY−bavec ses coefficients dansk; i.e.

f(X,Y) = f₁(X−a,Y−b) +. . .+f_n(X−a,Y−b), où les f_isont homogènes de degréienX−aetY−b.

Le pointPest non-singulier si et seulement si f₁6=0, et dans ce cas la droite tangente àCf enPest la droite d’équation f₁=0.

Supposons maintenantPsingulier, alors on écrit

f(X,Y) = f_m(X−a,Y−b) + des termes de plus haut degré, avec f_m6=0, m≥2

On dira alors quePa multiplicitémsurC, qu’on noteramP(C).

En particulier, sim=2, alorsPest appelé point double.

Pour simplifier, supposons(a,b) = (0,0), alors surk^al on a, fm(X,Y) =∏^Lrii,

où chaqueL_iest un polynôme homogènec_iX+d_iY de degré 1 avec ses coefficients dansk^al. Les droites Li=0 ; supposées distinctes, sont appelées les droites tangentes deCf enP, etrila multiplicité deLi. Le pointPest dit avoir une singularité ordinaire si les droites tangentes sont distinctes, i.e.ri=1 pour touti.

Un point double ordinaire est appelé un noeud.

1.2.9. Exemple:On considère la courbeY²=X³+aX².

On veut étudier les points singuliers de cette courbe. On pose f(X,Y) =Y²−X³−aX²et on cherche les points(x,y)qui annulent les deux dérivées partielles de f,∂Xf=3X²+2aX et∂Yf=2Y.

1. On supposea=0. Alors la courbe devientY²=X³et :

∂Xf =∂Yf =0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0).

On peut écrire alorsf(X,Y) =f₂(X−0,Y−0)+f₃(X−0,Y−0) =f(X,Y) =f₂(X,Y)+f₃(X,Y), où f₂(X,Y) =Y²et f₃(X,Y) =X³. DoncP= (0,0)est un point double et la droite tangente enP a pour équationL:Y =0.

2. On suppose a6=0. Il y a donc deux points singuliers (0,0)et(⁻²₃ a,0); or on remarque que le dernier point n’apartient pas à la courbe. On s’intéressera donc au pointP= (0,0).

On peut écrire f(X,Y) = f₂(X−0,Y−0) +f₃(X−0,Y−0) = (aX²−Y²) +X³. Donc la multi- plicité du pointP= (0,0)est 2. De plus, f₂(X,Y) =aX²−Y²= (√

aX+Y)(√

aX−Y) =L₁.L₂, doncPest un point double ordinaire et donc un noeud. De plus les tangentes enPsont les droites d’équationsY=±√

aX.

1.3 Nombre d’intersection

Soit F(k) l’ensemble des pairs de polynômes f,g∈k[X,Y]qui n’ont pas de facteurs communs h dansk[X,Y]avech(0,0) =0.

Pour(f,g)∈F(k), nous voulons définir le nombre d’intersections en l’origine des courbesC_f etC_g. La proposition suivante montre qu’il existe qu’une unique manière raisonnable de le faire.

1.3.1. Proposition:Il existe une unique applicationI :F(k)→Ntelle que : 1. I(X,Y) =1;

2. I(f,g) =I(g,f)pour tout(f,g)∈F;

3. I(f,gh) =I(f,g) +I(f,h)pour tout(f,g),(f,h)∈F 4. I(f,g+h f) =I(f,g)pour tout(f,g)∈F, h∈k[X,Y]; 5. I(f,g) =0si g(0,0)6=0;

Démonstration. Fulton 1969, III 3.

1.3.2. Définition:Soit deux courbes Cf et CgdansA²(k), et soit P∈Cf(k)∩C_g(k).

On dit que P est un point isolé de Cf∩Cgsi Cf et Cgn’ont pas de composantes irréductibles passant par P en commun. Dans ce cas, f et g n’ont pas de facteur commun h tel que h(a,b) =0et par conséquent on peut définir la multiplicité d’intersection de Cf et Cgen P par :

I(P,Cf∩C_g)^{de f}= I

f(X+a,Y+b),g(X+a,Y+b) .

En particulier, si P= (0,0)alorsI(P,Cf∩C_g)^{de f}= I(f,g).

1.3.3. Remarque:On remarque que,I(P,C∩D) =1si et seulement si P est un point non-singulier de C et D et que les droites tangentes en P sont distinctes.

Plus généralement

I(P,C∩D)≥mP(C).mP(D),

avec égalité si et seulement si elle n’ont pas de droites tangentes en P en communs.

1.3.4. Exemple:En appliquant la propriété 1.3.1, on trouve I(Y²−X²(X+1),X) =I(Y²,X) =2.

Bien que l’axe desY ne soit pas tangent à la courbeY²=X²(X+1), le nombre d’intersection est>1 car l’origine est un point singulier.

1.3.5. Définition:Un point P∈C(k)est un point col si c’est un point double avec une seule tangente L et queI(P,L∩C) =3.

1.3.6. Exemple:Soient la courbe affineC:Y²=X³et la droiteL:Y =0 sa tangente enP= (0,0).

On a, f(X,Y) =Y²−X³= f₂(X,Y) +f₃(X,Y), doncPest un point double ordinaire.

De plus,I(P,L∩C) =I(Y²−X³,Y) =I(X³,Y) =3. DoncPest un point col.

1.3.7. Définition:En général, un point non-singulier P d’une courbe C est appelé point d’inflexion si la multiplicité d’intersection de la droite tangente en P et C est≥3.

1.4 Résultants

1.4.1. Définition:Soit A un anneau commutatif, P et Q deux polynômes non nuls de degrés respectifs n et m à coefficients dans A. On pose P=

n

∑

i=0

aiXⁱ et Q=

m

∑

j=0

bjX^j. Le résultant de P et Q ; notéR(P,Q), est le déterminant de leur matrice de Sylvester :

































pn pn−1 · · · · · · p₀ 0 · · · 0 0 pn pn−1 · · · . .. ... ...

... . .. . .. . .. p₀ 0

0 · · · 0 p_n p_n−1 · · · · · · p₀ qm · · · · · · q₁ q₀ 0 · · · 0

0 q_m . .. . .. ... ...

... . .. . .. · · · q₁ q₀ 0 0 · · · 0 q_m · · · · · · q₁ q₀

































1.4.2. Proposition:Soient f(X,Y),g(X,Y)∈k[X,Y], et soit r(X)∈k[X]leur résultant. Alors, il existe a(X,Y),b(X,Y)∈k[X,Y]tels que a f+bg=r(X)∈k[X], avec degY(a)<deg_Y(g), degY(b)<deg_Y(f).

Démonstration. J.S MILNE ELLIPTIC CURVES

Chapitre 2

Courbes planes projectives

2.1 Plan projectif

2.1.1. Définition:Un polynôme P est dit homogène de degré n si la somme des degrés sur les différentes variables est constante égale à n. On écrit :

P(X₁, . . . ,Xk) = ∑

i₁+...+ik=n

αi₁,...,ikX₁ⁱ¹. . .X_k^ik, oùαi₁,...,ik∈k.

2.1.2. Définition:On définit le plan projectif sur k comme

P²(k) ={(x,y,z)∈k³|(x,y,z)6= (0,0,0)}/∼,

où(x,y,z)∼(x⁰,y⁰,z⁰)si et seulement si il existe c6=0dans k tel que(x⁰,y⁰,z⁰) = (cx,cy,cz).

On écrit(x:y:z)pour la classe d’équivalence de(x,y,z).

2.1.3. Définition: Une courbe projective C_F sur k est un sous-ensemble de P²(k) tel qu’il existe un polynôme F∈k[X,Y,Z]de degré≥1qui n’a pas de facteurs répétés dans k^altel que :

C_F ={(x:y:z)∈P²(k)|F(x,y,z) =0}

Le degré de CF est égal au degré de F, en tant que polynôme homogène.

2.1.4. Remarque:Soient

U₀={(x:y:z)|x6=0}, U₁={(x:y:z)|y6=0}et U₂={(x:y:z)|z6=0}.

Alors U₁, U₂et U₀sont de manière naturelle des cartes affines : (x,y)7→(x:y: 1):A²(k)→U₂;

(x,z)7→(x: 1 :z):A²(k)→U₁; (y,z)7→(1 :y:z):A²(k)→U₀,

puisque ce sont des bijections ; donc on peut identifier par exemple U₁avecA²(k)par(x: 1 :z)↔(x,z).

On identifie doncP²(k) =U₀∪U₁∪U₂.

Donc une courbe projective plane C:=Cf est l’union de trois courbes affines planes, C=C₀∪C₁∪C₂, avec Ci=C∩Ui où quand on identifie de manière naturelle chaque Ui avecA²(k), alors C₀, C₁ et C₂ sont identifiées avec les courbes affines définies par les polynômes F(1,X,Z), F(X,1,Z) et F(X,Y,1) respectivement.

2.1.5. Remarque:On définit de la même manière les notions de droites tangentes, multiplicité, multi- plicité d’intersection, etc ... pour les courbes projectives en regardant cette dernière comme une courbe affine dans une des trois cartes citées ci-dessus.

2.1.6. Exemple:On considére la courbeC:Y²Z =X³+aX Z²+bZ³. On peut la regarder dans trois cartes différentes et donc l’associer à trois courbes affines :

— C₀:Y²Z=aZ²+bZ³

— C₁:Z=X³+aX Z²+bZ³

— C₂:Y²=X³+aX+b 2.1.7. Théorème:(BEZOUT)

Soient C et D deux courbes projectives sur un corps k de degrés respectifs m et n, et qui n’ont pas de composantes irréductibles en commun.

Alors C et D s’interceptent sur k^al en exactement mn points comptés avec multiplicités, i.e.

∑

P∈C(k^al)∩D(k^al)

I(P,C∩D) =mn .

Démonstration. Voir Fulton 1969, Chap. 5, ou Silverman and Tate 1992 , Appendix A.

2.1.8. Remarque:D’après le théorème de Bézout, deux composantes irréductibles d’une courbe pro- jective plane auront un point commun, qui sera singulier par la remarque 1.2.7.

Donc, toute courbe projective lisse sera géométriquement irréductible.

2.1.9. Exemple:On considére la courbeC:Y²Z =X³+aX Z²+bZ³ de degré 3. On la regarde dans la carte U₁ ={(x:y:z)|y6=0}, et on l’associe à la courbe affine C₁ :Z =X³+aX Z²+bZ³, avec (x:y:z)∼(^x_y,^z_y).

On pose f(X,Z) =Z−X³−aX Z²−bZ³, on peut réécrire

f(X,Z) = f₁(X,Z) +f₃(X,Z) =Z+ (−X³−aX Z²−Z³),

en regardant le pointP= (0,0). Donc la tangente en(0,0)∼(0 : 1 : 0)est la droite d’équationL_∞:Z=0.

De plus

I(P,C∩L_∞) =I(Z−X³−aX Z²−bZ³,Z) =I(X³,Z) =3.

Donc par le théorème de Bézout, le point(0 : 1 : 0)est le seul point oùCetL_∞se rencontrent.

2.2 La loi de groupe

SoitCune courbe projective plane lisse de degré 3 sur un corpsk, qui est supposé parfait. On s’inté- ressera en particulier au cask=Q.

SoitC(k)l’ensemble des points deCavec coordonnées dansk. Nous allons montrer qu’une fois un élé- mént neutreO∈C(k)choisi, la courbeC(k)a une structure naturelle de groupe commutatif.

On retourne donc à notre cubique lisseC. On choisi alors un pointO∈C(k). De deux pointsP₁,P₂∈C(k), dont l’un n’appartient pas à la droite tangente de l’autre, on peut construire un troisième point d’intersec- tion deCavec les cordes passant parP₁etP₂. Le théorème de Bézout, démontre que ce point est unique, mais avec une possibilité d’avoir des coordonnées dans une extension de GaloisK de k, cependant un résultat élémentaire décrit qu’un polynôme cubiqueh(X)∈k[X]qui a déjà deux de ses racines dansk, aura toutes ses racines également dans k. En suivant le même raisonnement, la droite tangente en un pointP∈C(k)rencontreraC en exactement en un autre point (sauf si Pest un point d’inflexion), qui appartiendra encore àC(k).

On écriraPQpour le troisième point d’intersection de la droite passant parP,Q∈C(k); quandP=Q alorsPQsera le point d’intersection de la droite tangente enPavecC; quand la droite passant parPet Qest tangente àCenQalorsPQ=Q; et quandPest un point d’inflexion alorsPP=P.

Pour toute paireP,Q∈C(k), on définie

P+Q=O(PQ),

i.e., si la droite passant parPetQintersecteCencore enPQ, alorsP+Qest le troisième point d’inter- section deCavec la droite passant parOetPQ.

2.2.1. Théorème:La construction ci-dessus fait de(C(k),+)un groupe commutatif.

Par ce qui a été dit avant, on a que la loi est bien définie ou interne ; i.e. que si P,Q∈C(k), alors P+Q∈C(k).

De plus, on remarque que la définition ne dépend pas de l’ordre dePetQ; et doncP+Q=Q+P, alors la loi est commutative.

Pourquoi O est en effet l’élément neutre ?

O,PetPOsont alignés, doncP+O=O(OP) =PetO∈C(k).

Comment obtenir les points opposés ?

La construction est la suivante : tracer la tangente en O, elle recoupe la cubique en S. La droite (PS) recoupe la cupique en un point, qui est -P.

Vérifions que cette construction nous donne bien les opposés. Additionnons Q et−Q. Pour ce faire, prenons le troisième point d’intersection de la courbe avec la droite passant par Q et −Q : c’est S.

Maintenant joignons SetOet prenons à nouveau le troisième point d’intersection SO: c’estOcar la droite passant parOetSest la tangente à la courbe enO(elle passe donc une fois parSet deux fois par O). AinsiQ+ (−Q) =O.

Il nous reste plus qu’à montrer l’associativité. Cependant ce n’est pas la moindre. Nous aurons donc besoin de la proposition suivante.

2.2.2. Proposition:(Théorème des neufs points) Si deux courbes cubiques dansP²se coupent en exac- tement neuf points, alors toute courbe cubique passant par huit de ses neuf points passe alors par le neuvième.

Démonstration. Un polynôme homogène cubique

F(X,Y,Z) =a₁X³+a₂X²Y+· · ·+a₁₀Z³ a 10 coefficientsa₁,· · ·,a10.

Ainsi l’ensemble de toutes les cubiques est de dimension 10 ; en tant qu’espace vectoriel. La condition queCF passe par un pointP= (x:y:z)est une condition linéaire sura₁,· · ·,a₁₀:

a₁x³+a₂x²y+· · ·+a₁₀z³=0.

Par conséquent, l’ensemble des cubiques passant par un point donné est de dimension 9. De même, à chaque fois que l’on impose que la cubique passe par un point donné, on impose à chaque fois une condition linéaire sur les coefficients. Ainsi, la famille des cubiques passant par huit points d’intersec- tion ; en supposant que P₁= (x₁:y₁:z₁),· · ·,P₈ sont en "‘position général"’ plus précisement si les vecteurs (x³_i,x²_iyi,· · ·,z³_i),i=1,· · ·,8 sont linéairement indépendants, de deux cubiques données est de dimension 2. Donc, il existe deux polynômesF etGtels que ces courbes peuvent s’écrire comme

λF+µG ,λ,µ∈k.

De plus par Bézout, on a ∑

P∈C(k^al)∩D(k^al)

I(P,C∩D) =3.3=9, et doncF etGont un neuvième point en commun, et chaque courbe de la formeλF+µG=0 passe par ce neuvième point.

Quand lesPi ne sont pas en "‘position général"’, la preuve est complétée par une étude cas par cas ; voir Walker 1950,III 6.2.

Maintenant nous allons faire la preuve de l’associativité, l’associativité. Nous allons utiliser la pro- position 2.2.2. On note maintenantL(P,Q)pour la droite dansP²passant parPetQ.

SoientP,Q,R∈C(k), on pose :

S= (P+Q)R et T =P(Q+R).

Alors(P+Q) +R=OSetP+ (Q+R) =OT. Donc pour prouver(P+Q) +R=P+ (Q+R), il suffit de prouver queS=T.

On considère les courbes cubiques suivantes : C=0 ;

L(P,Q).L(R,P+Q).L(QR,O) =0 ; L(P,QR).L(Q,R .L(P,O)) =0.

Toutes les trois passe par les huit pointsO,P,Q,R,PQ,QR,P+Q,Q+R, et les deux dernières passent par le pointU ^{de f}= L(P,Q+R)∩L(P+Q,R). Donc, si les six droitesL(P,Q),· · ·,L(P,O) sont dis- tinctes, alors la proposition 2.2.2 montre queCpasse aussi parU, et donc ceci implique queS=U=T. 2.2.3. Remarque:Dans la preuve du théorème 2.2.1, dans le dernier point, le cas où deux des six lignes coïncident, alors on utilisera une forme plus forte de la proposition 2.2.2, cependant nous ne le feront pas ; mais nous pouvons retrouver ce cas dans FULTON 1969,p.124

2.3 Points rationnels

Pour une courbe projetive planeCF surQ, on peut se poser deux questions fondamentales :

1. Est-ce que CF a des points à coordonnées dans Q;i.e. est-ce-que F(X,Y,Z) a des zéros non- trivials dansQ? ;

2. Si la réponse à la première question est oui, est-ce qu’on peut décrire ?

On supose queC_F est absolument irréductible, et on s’interréssera en particulier aux cubiques.

SoitC:F(X,Y,Z) =0 une courbe projective plane surQde degrée 3. Si elle a un point singulier, alors le théorème de Bézout montre que c’est le seul, et que c’est un point double. A priori le point singulier Paura ses coordonnées dans une extension finiK deQ; que nous pouvons prendre comme l’extension de Galois sur Q, maisGal(K/Q) stabilise l’ensemble des points singulier dansC(K), par conséquent P∈C(Q).

Maintenant une droite ; avec une pente rationnelle, passant parPrencontrera la courbe en exactement un autre point (à part si c’est une droite tangente), et donc on obtient une paramétrisation des points singulier deCsurQ.

2.3.1. Théorème:(Base finie)

Soit C une cubique non singulière surQ. Alors il existe un ensemble fini de point de C a coordonnées dansQde qui n’importe quel autre point de ce type peut être obtenu par construction de tangentes et de cordes successives.

Démonstration. published in 1922, Mordell

2.4 Une introduction aux nombres p-adiques

2.4.1. Définition: Soit p un nombre premier. On appelle valuation p-adique l’application vp:Q→ Z∪ {+∞}définie comme suit :

1. vp(0) = +∞;

2. si n est un entier non nul, vp(n) =k si p^k divise n et p^k+1ne divise pas n (p^kest la "plus grande puissance de p dans n") ;

3. si n=^a_b avec a et b des entiers non nuls, alors vp(n) =vp(a)−vp(b).

2.4.2. Remarque:On notera généralement ordp(.)pour vp(.).

2.4.3. Proposition:Soient a et b deux entiers strictement positifs. Alors on a : 1. v_p(ab) =v_p(a).vp(b), pour tout a,b∈Z;

2. a|b si et seulement si pour tout p premier vp(a)≤vp(b); Démonstration. 1. Pour tout nombre premierp, on a

a=p^vp(a)a⁰et b=p^vp(b)b⁰,

avec p-a⁰ etp-b⁰. Or on sait que si p|a⁰b⁰, alors p|a⁰ou p|b⁰donc ici on a la contraposée c’est- à-dire que p-a⁰b⁰. Et commeab=p^vp(a)+vp(b)a⁰b⁰, avec donc p-a⁰b⁰, alors par définition on a vp(ab) =vp(a) +vp(b);

2. Si a|b, alors pour tout nombre premier p, p^vp(a)|b, cara= p^vp(a)a⁰ avec p-a. Et comme b= p^vp(b)b⁰avec p-b⁰alors on obtient p^vp(a)|p^vp(b)(par Gauss carpgcd(p,b’) =1) et doncvp(a)≤ v_p(b). Réciproquement, supposons quev_p(a)<v_p(b). SoitPune ensemble fini de nombres pre- miers contenant les diviseurs premiers deaetb. On ab= ∏

p∈P

p^vp(b)= ∏

p∈P

p^{vp(b)−vp(a)}.∏

p∈P

p^vp(a)= a. ∏

p∈P

p^{vp(b)−vp(a)}et donca|b.

2.4.4. Définition:Soit p un nombre premier. On définit la valeur absolue p-adique comme l’application

|.|_p:Q→R+ vérifiant|0|_p=0, et|n|_p= ¹

p^vp(n) si n est un rationnel non nul.

2.4.5. Remarque: Avec la définition, on voit que |xy|p=|x|p|y|p pour tous rationnels x et y, car v_p(xy) =v_p(x)vp(y). C’est, en fait, propre à ce qu’on appelle une valeur absolue, en toute généralité.

Ainsi, si n s’écrit∏

i

p^α_iⁱ où lesαi sont des entiers, alors

vp(n) =αiet |n|_pi= 1 p^α_iⁱ. Notons que 1=∏

i

p⁰_i, donc vp(1) =0 pour tout nombre premier p. Remarquons que |n|_p<1 si et seulement si p divise le numérateur de n (supposé sous forme réduite),|n|_p=1si p n’apparaît pas dans l’expression de n, et|n|_p>1s’il est au dénominateur.

2.4.6. Exemple:Soitn=315=3²·5·7. On a alors :

v₃(n) =2, v₅(n) =1, v₇(n) =1et v_p(n) =0pour tout autre p premier différent de 5,3,7. 2.4.7. Proposition:L’application|.|_pdéfinie une norme surQ.

Démonstration. Nous allons donc regarder si cette application vérifie les propriétés d’une norme : 1. Par la défnition de la valeur absolue p-adique on a bien|n|_p=0 si et seulement sin=0 ; 2. De plus on a vu que|xy|_p=|x|_p|y|_p;