passant par O

(1)

D1949 En passant par Espaly

Soit  la droite variable passant par F.

On transforme la figure par l'inversion f, de pôle F, qui échange M et N.

(La puissance de l'inversion f est la puissance du point F par rapport au cercle (O)).

Les cercles de diamètres [FM] et [FN] deviennent les droites perpendiculaires à  en N et M.

Le quadrilatère MNN'M' devient alors un rectangle inscrit dans le cercle (O).

Les droites ne passant pas par F deviennent des cercles passant par F.

Solution proposée par Pierre Renfer

Question 1

Il s'agit de montrer que le deuxième point d'intersection A des cercles (FMM') et (FNN') ainsi que le deuxième point d'intersection B de la droite  et du cercle (FM'N') décrivent un même cercle passant par F.

Soit ' la parallèle à , passant par O.

Soit " la perpendiculaire à , passant par O.

Le point A est le symétrique de F par rapport à '. Le point B est le symétrique de F par rapport à ".

Les deux points A et B appartiennent tous deux au cercle de centre O, passant par F.

Question 2

Il s'agit de montrer que les cercles (FMN') et (FM'N) passent par un deuxième point fixe sur (OF).

On choisit le rayon du cercle (O) comme unité de longueur et un repère orthonormé mobile, d'origine O admettant ' et " comme axes de coordonnées.

Soient (a,b) les coordonnées de F.

On pose : b' 1b²

Les points M, N, M', N' ont pour coordonnées : b

b' M - ,

b N b' ,

b -

b' ' -

M , b - ' b' N

On va chercher les coordonnées (ka,kb)du deuxième point d'intersection G du cercle (FMN') et de la droite (OF).

Le cercle (FMN') a une équation du type : x²y²uxvyw0

En écrivant que les points M, N', F, G vérifient l'équation, on obtient le système :

(2)



























































0 w b k v a k u ) b a ( k

0 w b v a u b a

0 w b v ' b u 1

2 2 2

2 2

Les deux premières lignes impliquent : w1

La troisième ligne donne alors : uavb1a²b²

En retranchant à la quatrième ligne la troisième ligne multipliée par k², on obtient : 1

k ) b v a u (

k     

Donc : k(1a²b²)k1 et ₂ ₂ ₂ OF

1 b

a

k 1 

 

 

Le point G est fixe.

Et des calculs analogues pour le cercle (FM'N) montrent que ce point G appartient aussi à ce cercle.

Question 3

On va montrer que le cercle (FM'N') passe par un second point fixe H sur la droite (OF).

Soient (ka,kb) les coordonnées de H.

Le cercle (FM'N') a une équation du type : x² y²uxvyw0

En écrivant que les points M', N', F, H vérifient l'équation, on obtient le système :



























































0 w b k v a k u ) b a ( k

0 w b v a u b a

0 w b v ' b u 1

2 2 2

2 2

Les deux premières lignes impliquent :











1 b v w

0 u

La troisième ligne donne alors : 2vb1a²b²

En retranchant à la quatrième ligne la troisième ligne multipliée par k², on obtient : 1

2 k b a ) 1 1 k 2 (

2

2  

 

 et ₂

2 2

2 2 2

OF 2

OF 1 ) b a ( 2

b a k 1



 

 



 

 Le point H est bien un point fixe.