D339 – Passage au centre
1) Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale.
2) Mêmes questions quand le cube est remplacé par un tétraèdre régulier puis par un octaèdre régulier.
Solution par Patrick Gordon Q1
La nature du problème suggère une approche analytique.
Soient a, b, c les coefficients directeurs (normés) de la droite. Soit un point M (x, y, z) et H son projeté sur la droite.
La distance d = MH satisfait : d² = MH² = OM² – OH².
Or OH est le produit scalaire OM.u (où O est le centre du cube et u le vecteur unité de la droite).
C’est-à-dire :
1) d² = x² + y² + z² – (ax + by + cz)²
Prenons 1 comme dimension de la demi-arête du cube et plaçons ses sommets de telle façon que leurs coordonnées vaillent toutes ±1. La relation (1) s'écrit alors :
2) d² = 3 – (ax + by + cz)²
La somme cherchée vaut donc 8 × 3 = 24, moins la somme des huit expressions (ax + by + cz)² pour x, y, z = ±1, c’est-à-dire :
24 – (a + b + c)² – (a + b – c)² – … (– a – b – c)².
En développant, il vient : 24 – 8 (a² + b² + c²).
Or, par construction, (a² + b² + c²) = 1.
La somme est donc constante, égale à 16.
Q2
Dans le cas du tétraèdre régulier, on peut adopter la même approche analytique. La relation (1) est toujours valable. On peut disposer les sommets du tétraèdre le long des axes Ox, Oy, les uns au-dessus, les autres en-dessous soit, en prenant la demi-arête pour unité (et en remarquant que la distance entre deux arêtes opposées est alors √2) :
A (1, 0, –√2/2) B (–1, 0, –√2/2) C (0, 1, √2/2) D (0, –1, √2/2)
Dans la relation (1), tous les termes (x² + y² + z²) valent 3/2 et la relation (2) donne donc : 3) ∑d² = 6 – ∑(ax + by + cz)²
En remplaçant x, y, z par les coordonnées respectives de A, B, C, D, il vient : 4) ∑d² = 6 – (a –√2/2 c)² – (–a –√2/2 c)² – (b +√2/2 c)² – (–b +√2/2 c)² En développant, il vient :
6 – 2 (a² + b² + c²).
Or, par construction, (a² + b² + c²) = 1.
La somme est donc constante, égale à 4.
Dans le cas de l'octaèdre régulier, on peut adopter encore la même approche analytique. La relation (1) est toujours valable. On peut disposer le carré formé par les sommets A, B, C, D de l'octaèdre parallèlement aux axes Ox, Oy et les sommets E et F l'un au-dessus, l'autre en- dessous du plan Oxy soit, en prenant la demi-arête du carré ABCD pour unité (et en
remarquant que la demi-hauteur est alors √2) :
A (1, 1, 0) B (–1, 1, 0) C (1, –1, 0) D (–1, –1, 0) E (0, 0, √2) F (0, 0, –√2)
Dans la relation (1), les termes (x² + y² + z²) valent tous 2 et la relation (2) donne donc : 5) ∑d² = 12 – ∑(ax + by + cz)²
En remplaçant x, y, z par les coordonnées respectives de A, B, C, D, il vient : 6) ∑d² = 12 – (a + b)² – (–a + b)² – (a – b)² – (–a + b)² – 4c²
En développant, il vient : 12 – 4 (a² + b² + c²).
Or, par construction, (a² + b² + c²) = 1.
La somme est donc constante, égale à 8.
