D159 A CHACUN SON TOUR
Un point P à l’intérieur d’un triangle ABC se projette en D,E et F sur les droites BC,CA et AB.
Déterminer la position de P dans les quatre cas suivants : - le produit PD.PE.PF est maximal,
- la somme DE + EF + FD est minimale, - la somme BD² + CE² + AF² est minimale,
- la somme BC/PD + CA/PE + AB/PF est minimale.
Q1) Avec BC=a, CA=b, AB=c, PD=x, PE=y, PF=z, la surface du triangle est S= (a.x+b.y+c.z) /2 Le maximum de x.y.z se produit quand (a.x).(b.y).(c.z) est maximum.
Quand la somme de 3 termes est constante, le produit est maximum si ils sont égaux : a.x = b.y= c.z = 2S/3. Les trois triangles PBC, PCA, PAC ont pour surface S/3 :
PD = (hauteur issue de A)/3, PE = (hauteur issue de B)/3, PF = (hauteur issue de C)/3 : Le produit PD.PE.PF est maximal quand P est le centre de gravité du triangle ABC.
Q2) Soient A' symétrique de A par rapport à la droite BC, et C' symétrique de C par rapport à la droite BA. Le périmètre d'un triangle DEF où E est un point fixé sur AC, D et F restant à déterminer respectivement sur BC et BA, est égal à la longueur de la ligne brisée E'DFE'' où E' et E'' sont les symétriques de E par rapport à BC et BA. Il est minimum et égal à E'E'' si E' D, F, E'' sont alignés.
La composée des symétries d'axes BC et BA est la rotation de centre B d'angle 2.angle CBA.
Elle transforme E' en E''. Dans le triangle isocèle E'BE'', pour minimiser la base E'E'', il faut encore minimiser BE', donc BE' perpendiculaire à A'C, et alors BE perpendiculaire à AC :
BE, CF, et AD sont les trois hauteurs.
La somme DE + EF + FD est minimale quand P est l'orthocentre de ABC.
Q3) On peut remarquer que S3 = BD² + CE² + AF² = CD² + AE² + BF² car leur valeur commune est PA² + PB² + PC² – (PD² + PE² + PF²).
2S3 = (DB² + DC²) + (EC² + EA²) + (FA² + FB²)
Or , avec u et v positifs, lorsque u+v est constant, uv est maximum quand u=v. Puis u²+v², qui est égal à (u+v)² – 2uv est minimum quand u=v.
Ainsi , S3 est minimum quand DB=DC EC=EA et FA=FB.
D, E, F sont respectivement milieux de BC, CA, AB et P est l'intersection des médiatrices.
BD² + CE² + AF² est minimum quand P est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Q4) La somme à étudier est S4 = a/x +b/y +c/z sachant que ax + by + cz = 2S = constante.
Pour simplifier, supposons provisoirement z constant, étudions les variations de u = a/x + b/y avec y fonction de x définie par ax + by = H = constante , la dérivée y' est -a/b.
du/dx = -a/x² + (-a/b).(-b/y²) = a.(1/y² – 1/x²) , du/dx est nul quand x=y= H/(a+b)
x 0 H/(a+b) H/a du/dx – 0 +
u Décroit minimum Croit Pour z constant, S4 est minimale si x=y.
Ensuite on étudie S4 = (a+b)/x +c/z sachant que (a+b)x + cz = 2S = constante, et le résultat est encore S4 est minimale si x=y = z.
S4 est minimale si P est équidistant des trois côtés : P est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
