Soit Aß la parallèle à BC menée par A. L'angle (Aß, AB) est égal à (BC, BA) et donc à (AC, AD), où AD est tangente à (Γ) en A. Comme Aß est la conjuguée har- monique de la médiane issue de A par rapport à AB et AC, on voit par symétrie autour de la bissectrice en A que AD est la conjuguée harmonique de la symédiane AA’ par rapport à AB et AC.
La division (B, C, A’, D) est harmonique, donc D est le pôle de la symédiane issue de A. De façon analogue, on voit que le point E est le pôle de la symédiane issue de B et que le point F est le pôle de la symédiane issue de C. Il résulte de cela que la droite DE n'est autre que la polaire de K par rapport au cercle (Γ) et donc que DE est perpendiculaire à OK.
Q1. — On va prouver que DE est parallèle à la bissec- trice Aa sous l'hypothèse que ABC est moyen en A.
Le cercle de centre E passant par B est orthogonal au cercle (Γ), c'est un cercle du faisceau à points limites A et C : c'est le cercle d'Apollonius, lieu des points M tels que MA/MC = BA/BC. De même, F est le centre du cercle d'Apollonius des points N tels que NB/NA = CB/CA.
Posons k = BC/AB = AC/BC [car le triangle ABC est moyen en A]. Un calcul classique montre que FA/AB = k / (1/k – k) et que EC/AC = k / (1/k – k). [Noter que k est différent de 1 car le triangle n'est pas isocèle.]
Donc AC = k2.AB et
EA = EC + AC = AC [1 + k / (1/k – k)] = AB.k2.[1 + k / (1/k – k)] = AF . Le triangle EAF est isocèle. La hauteur en A est la bissectrice extérieure de l'angle BAC…
Q2. — La concourance de la symédiane BK, de la médiane CG et de la bissectrice Aa résulte du théorème de Ceva et de l'hypothèse BC2 = AB.AC. L'autre concourance se montre de la même façon, ou en notant que les droites sont isogonales des précédentes.
r isogonalité
