mathématiques - S2
TD 1 : Fonctions vectorielles - corrigé
département Mesures Physiques - IUT1 - GrenobleDans tous les exercices, les coordonnées cartésiennes sont données dans un repère orthonormé direct du plan (O,~ı, ~) ou de l’espace (O,~ı, ~, ~k).
Quand rien n’est précisé, les valeurs numériques sont exprimées en unités du système international (usi).
1. (a) Donner une équation cartésienne de la droite passant par A(1, 2) et B(2, 5).
Quelle condition doivent vérifier les coordonnées d’un point du plan pour qu’il soit au dessus de la droite ?
(b) Reconnaître l’ensemble des points du plan d’équations paramé- triques x(t) = 3t + 2, y (t) = 2t + 1
(c) Reconnaître l’ensemble des points de l’espace dont les coordon- nées vérifient 2x − 2y − z = −3, x − 4y + z = 0
(d) Reconnaître l’ensemble des points du plan d’équations paramé- triques x(t) = 2 cos(t
2) + 1, y(t) = 2 sin(t
2) + 3
corrigé succint : (a) L’équation de la droite esty= 3x−1. L’équation du demi-plan supérieur délimité par
cette droite esty≥3x−1.
(b) c’est la droite passant parA(2,1)et de vecteur directeur(3,2).
(c) on trouve en exprimantxetzen fonction dey:x=−1 + 2y,y=y,z= 2y+ 1donc il s’agit de la droite passant parA(−1,0,1)et de vecteur directeur(2,1,2).
(d) il s’agit du cercle de centre(1,3)et de rayon2. Il est parcouru à la vitesse angulaire2tà partir du point(3,3)à l’instant 0.
2. (a) Rappeler l’expression des dérivées suivantes : d u ~
rdr , d u ~
θdr , d u ~
rdθ , d u ~
θdθ . (b) Soit n un entier positif ou nul. Exprimer simplement d
nu ~
rdθ
net d
nu ~
θdθ
n. (c) Si r et θ sont des fonctions du temps, calculer d u ~
rdt et d u ~
θdt .
corrigé succint : (a) On au~r= cosθ~ı+ sinθ~etu~θ =−sinθ~ı+ cosθ~.
Aucun de ces deux vecteurs ne dépend der..donc les dérivées par rapport àrsont nulles.
Pour les dérivées par rapport àθ, c’est du cours :du~r
dθ =u~θetdu~θ
dθ =−u~r.
(b) Puis on trouve ensuite d2u~r
dθ2 =−u~retd2u~θ
dθ2 =−u~θ, d3u~r
dθ3 =−u~θet d3u~θ
dθ3 =−u~r, puis d4u~r
dθ4 =u~retd4u~θ
dθ4 =u~θ...et ainsi de suite.
(c) Revoir le cours !
3. Soit les vecteurs ~a(t) = α~ı − sin(ωt)~ et ~b(t) = −βt~ı + ~ + ~k, α et β étant deux constantes. Calculer de deux manières différentes d
dt (~a.~b) et d
dt (~a ∧ ~b)
corrigé succint : On peut soit calculer d’abord~a.~b(t) =−αβt−sin(ωt)et dériver l’expression, soit utiliser
la formule d
dt(~a.~b) = d dt~a.~b+ d
dt~b.~a. Dans les deux cas on obtient évidemment le même résultat, à savoir d
dt(~a.~b) =−ωcos(ωt)−αβ.
De même pour le produit vectoriel, on peut soit calculer d’abord~a∧~b(t)et dériver l’expression, soit utiliser la formule d
dt(~a∧~b) = d
dt~a∧~b+~a∧ d
dt~b. Dans les deux cas on obtient le même résultat, à savoir d
dt(~a∧~b) = (−ωcos(ωt),0,−βωtcos(ωt)−βsin(ωt)).
4. On considère une courbe de Lissajous
x(t) = X cos(ωt) y(t) = Y sin(3ωt) .
(a) Quelles sont les dimensions des constantes (positives) X, Y et ω ? (b) Exprimer le vecteur position OM ~ , le vecteur vitesse ~v et le vecteur
accélération ~a. Vérifier leur homogénéïté.
(c) Calculer d||~v||
dt et ||~a|| = || d~v dt ||.
corrigé succint : (a) XetY sont de même dimension quexety, par exemple des distances, car le cosinus et le sinus sont sans dimension. Par ailleursomegat, donc on prend le sinus ou le cosinus, doit être sans dimension.tétant un temps,ωest l’inverse d’un temps.
(b) OM~ = (Xcos(ωt), Ysin(3ωt)). La vitesse ~v est la dérivée de OM~ soit ~v = (−ωXsin(ωt),3ωY cos(3ωt)). L’accélération est la dérivée de la vitesse soit~a = (−ω2Xcos(ωt),−9ω2Y sin(3ωt)).
(c) On trouve d||~v||
dt = ω(2X2ωsin(ωt) cos(ωt)−6Y2ωsin(3ωt) cos(3ωt)) 2p
X2sin2(ωt) + 9Y2cos2(3ωt) et||~a|| = ω2p
X2cos2(ωt) + 81Y2sin2(3ωt).
Ces formules, différentes (par exemple ent= 0la première est nulle et pas la seconde), n’ont aucun intérêt sauf celui de mettre en garde que dériver la norme de la vitesse, ou prendre la norme de la dérivée de la vitesse, ne donne pas le même résultat ! !
5. On considère la courbe définie par une équation polaire r = f (θ).
(a) Expliquer pourquoi, en un point M de la courbe, OM ~ = f (θ) u ~
r. (b) Démontrer, en dérivant la relation précédente, qu’en un point dif-
férent de O, si V désigne l’angle entre u ~
ret la tangente à la courbe, tan V = f (θ)/f
′(θ).
(c) En déduire, en un point différent de O, l’angle de la tangente avec
~ı.
(d) On prend f(θ) = Ae
kθavec A = 1 usi et k =
101usi, avec θ positif.
Montrer que l’angle entre u ~
ret la tangente à la courbe est constant, déterminer le sens de variation de f, et tracer l’allure de la courbe.
corrigé succint : (a) par définition du vecteur radial,OM~ =r ~ur, et l’énoncé donner=f(θ)...
(b) c’est la dérivée deOM~ qui donne la tangente à la courbe. Donc si on dérive (par rapport àθ) dOM /dt~ =f′(θ)u~r+f(θ)u~θ. Dans le repère polaire, orthonormé direct, le vec- teur dOM /dt~ a donc pour abscissef′(θ)et pour ordonnéef(θ), donc l’angle entreu~r et dOM /dt~ a pour tangente le quotient de ces coordonnées, soitf(θ)/f′(θ).
(c) L’angle de la tangente avec~ıest la somme de l’angle de la tangente avecu~ret de l’angle deu~ravec~ı, soitV +θ. Sif′(θ)>0, c’est doncθ+ arctan(f(θ)/f′(θ)).
(d) On veut montrer que l’angleV est constant. MaistanV =f(θ)/f′(θ) = 1/k = 10, qui est constant...
fest croissante. La courbe est donc une spirale...
é
6. On considère la trajectoire d’un point mobile M(t).
(a) Montrer que OM. ~ d OM ~
dt = OM. dOM dt .
(b) En déduire que si la trajectoire est circulaire de centre O, en tout point la vitesse est orthogonale au vecteur OM. ~
(c) Soit M (t) le point défini par
r(t) = R
θ(t) = αt
2, avec R = 1 usi, α = 1 usi.
L’accélération est-elle radiale ?
(d) Dans le cas général, montrer que l’accélération est en tout point colinéaire au vecteur-position si et seulement si OM ~ ∧ d OM ~
dt ne dépend pas de t.
corrigé succint : (a) on sait que OM . ~~ OM = OM2 donc en dérivant cette relation, OM .~ dOM~
dt +
dOM~
dt . ~OM = 2OMdOM
dt , d’où le resultat en divisant par 2...
(b) si la trajectoire est circulaire de centreO,OM est constant donc sa dérivée est nulle.
Ainsi,OM .~ dOM~
dt =OM .~v~ = 0donc la vitesse est bien orthogonal au rayon.
(c) On calcule (formule du cours que l’on cite ou rédémontre) l’expression de l’accélé- ration en coordonnées polaires, pour constater que le coefficient devant u~θ n’est pas nulle...l’accélération n’est donc pas radiale.
(d) si suffit de dériver l’expression : sa dérivée vaut dOM~
dt ∧dOM~
dt +OM~ ∧ d2OM~ dt2 , et le premier terme est nul (le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même est nul). Ainsi, l’expression est constante si et seuleemtn si sa dérivée est nulle, donc si et seulement si OM~ ∧d2OM~
dt2 =OM~ ∧~a= 0, ce qui équivaut au fait queOM~ et~asont colinéaires.
7. Oscillo en mode Lissajous
On applique en mode XY sur un oscilloscope deux tensions de fré- quence 1000Hz, d’amplitude 10V , déphasées de π/4.
Déterminer la courbe obtenue à l’écran.
Comment mesurer graphiquement le déphasage ?
corrigé succint :x(t) = 10 cos(ωt),y(t) = 10 cos(ωt−ϕ)
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