Casse-tête d’avril 2014
Pour résoudre le casse-tête d'avril, il est recommandé de se munir d'une règle et d'un compas avec lesquels est demandé de tracer un point P du plan d’un triangle ABC tel que les triangles PAB, PBC et PCA ont même périmètre.
Solution proposée par Jean Nicot
Examinons quelle condition un point P devra remplir pour que les périmètres de PAC et PBC soient égaux.
PA+PC+AC = PB+PC+BC ou PA - PB = BC – AC = a-b en posant BC= a et AC=b
Le lieu de P est une hyperbole de foyers A et B, d’axes AB et sa médiatrice, passant par C et ses symétriques par rapport aux axes.
Seule la branche ne passant pas par C convient.
P doit donc être situé sur une branche d’hyperbole de foyers A et B et passant par le symétrique C’de C par rapport à la médiatrice de AB.
Le milieu de AB est noté O et le sommet S de cette branche est situé sur OB avec OS=(a-b)/2.
De façon similaire les périmètres ABP et PCB seront égaux si PA – PC=BC –AB= a-c avec AB=c .
P doit donc être situé sur une branche d’hyperbole de foyers A et C et passant par le symétrique B’ de B par rapport à la médiatrice de AC.
Le milieu de AC est noté O’ et le sommet S’ de cette branche est situé sur O’C avec O’S’=(a-c)/2.
Ces deux branches d’hyperboles se coupent en P, qui est également sur une branche d’hyperbole S’’A’’, de foyers C et B.
Construction du point P
P est sur l’arc d’hyperbole S’P, donc le cercle directeur R,’ centré en A et de rayon a-c, est tangent au cercle centré en P passant par C.
P est sur la troisième hyperbole S’’P, donc le cercle directeur R’’, centré en B de rayon b-c, est tangent au cercle de centre P passant par C.
Tracer le point P revient à trouver le cercle passant par C et tangent aux deux cercles directeurs R’ et R’’.
Cette construction est bien connue. On la rappelle ci-après.
On prend un pôle d’inversion I sur un centre de similitude des cercles directeurs R’ et R’’
échangés dans l’inversion, deux points inverses T’ et T’’ sur chacun des cercles R’ et R’’. Le cercle passant par C T’ T’’ est conservé par l’inversion et son intersection K avec KI est un second point du cercle de centre P.
Il revient à tracer un cercle tangent à R’ et passant par C et K. Un cercle auxiliaire passant par C et K recoupe R’ en M et M’. MM’ coupe AB en N. Les tangentes par N à R’ sont NT et NW.
W est un autre point du cercle de centre P.
P est le centre du cercle circonscrit au triangle CKW.
