Casse-tête avril 2011
Louis ROGLIANO
Un cercle de diamètre10est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à87.
La partie commune est l’union de trois polygones tels queabcdeOet du carré aOf I tous disjoints (voir figure).
Désignons parxl’angleaOcd. L’aire du polygoneabcdeOest égale àf(x) = 25(tanx
2 +tan(π 4 −x
2)) Lorsquexvarie de0à π
2,f passe par un minimumx0 ≈20.7107.
En conséquence, l’aire en question ne peut-être inférieure à3×20.7107 + 25≈87.1321>87
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