E642. Casse-tête du Mikado
On trace dans le plan deux sous-ensembles et de 2009 points chacun. Tous les points sont distincts entre eux et trois d’entre eux ne sont jamais sur la même droite. J’ai à ma disposition des baguettes de Mikado de toutes les dimensions possibles. Puis-je relier à l’aide de 2009 baguettes les points de aux points de de telle sorte que tout point est l’extrémité d’une seule baguette et il n’y aucun chevauchement des baguettes entre elles ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Démontrons la propriété par récurrence sur le nombre de points. Elle est évidemment vraie quand et sont vides.
Supposons-la vraie pour tout rang inférieur à , et montrons qu’elle est alors vraie au rang .
Prenons pour cela deux sous-ensembles et de points chacun (tous distincts et sans alignements).
On représente les points de en bleu, et ceux de en rouge :
On a vu au problème E621 - Les lignes de partage qu’il existe une droite passant par un point de et un point de telle que de chaque côté de cette droite il y a autant de points de que de points de .
On pose un Mikado entre ces deux points sur la droite. De chaque côté de la droite, on a un nombre strictement inférieur à de points de et autant de points de .
On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence de chaque côté, et obtenir deux ensembles de Mikado qui ne se chevauchent pas, et ne chevauchent pas le premier Mikado posé.
