A224. Casse-tête de l’octogone
Je trace un octogone régulier et j'inscris sur chacun de ses huit sommets un entier naturel positif. J'écris sur les milieux des côtés les différences en valeur absolue des nombres qui se trouvent aux extrémités de chacun des côtés de . J'obtiens ainsi huit nombres placés aux sommets d'un nouvel octogone. Je continue de former de nouveaux octogones en calculant à chaque étape les différences en valeur absolue des valeurs inscrites sur les sommets pris deux à deux. Il arrive un moment où tous les huit nombres sont nuls. Pourquoi ? On désigne par le nombre d'itérations qui sont nécessaires pour passer d'une séquence initiale de huit entiers naturels 0 à la séquence finale composée de huit zéros. Trouver dont tous les termes sont 1 000 000 qui maximise et dont le plus grand terme est le plus petit possible ?
Ce casse-tête fait appel comme d'habitude à votre perspicacité mais le crayon et la feuille de papier ne suffiront probablement pas pour améliorer le score de 74 connu à ce jour. N'hésitez pas à utiliser un tableur ou un simple programme informatique fait sur mesure.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Appelons ; ; … ; la séquence obtenue après itérations. L’étape suivante s’obtient en appliquant la
loi de récurrence | |; | |; … ; | |.
On remarque que si ; ; … ; alors ; ; … ; . Par récurrence, si tous les termes de sont strictement inférieurs à , il en sera alors de même pour les termes de quelque soit .
On considère modulo 2 et on représente la séquence ; ; … ; ainsi obtenue par un nombre binaire # à huit bits. La loi de récurrence se transforme alors en la relation # #$ #% 1 où $ représente l’opérateur
« ou exclusif » et % représente l’opérateur de « décalage circulaire vers la gauche ». Il en découle :
#& #$ #% 1 #$ #% 1 $ #% 1 $ # % 2 #$ #% 2
#( #&$ #&% 2 #$ #% 2 $ #% 2 $ # % 4 #$ #% 4
#) #($ #(% 4 #$ #% 4 $ #% 4 $ # % 8 #$ #% 8 0 On obtient notamment #) 0, soit )+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, c'est-à-dire que tous les éléments de ) sont pairs. En appliquant le même résultat à )/2, on déduit que tous les éléments de . sont multiples de 4. Puis on conclut par récurrence que tous les éléments de )/ sont multiples de 2/.
En particulier, tous les termes de . sont multiples de 2&. Sachant qu’ils sont en outre strictement inférieurs à 1 000 000 2&, ils sont donc nécessairement nuls, c’est à dire . 0,0,0,0,0,0,0,0.
La séquence converge donc au bout de 0 123 itérations.
La démonstration de la convergence est donnée ici dans le cadre d’une séquence de longueur 8 qui correspond à l’octogone de l’énoncé. On remarque que le raisonnement s’applique de façon identique pour une séquence de longueur 24, mais que la convergence n’est en revanche pas garantie pour une séquence de longueur quelconque (on peut par exemple obtenir des séquences non convergentes si on utilise un hexagone).
La séquence 0,3192,475668,669451,461078,912970,198748,782608 converge en 0 99 itérations, améliorant ainsi le « score » donné dans l’énoncé.
