E682. Les nombres japonais
On dit qu’un entier naturel 𝑁 est de type 𝐽𝑛 si 𝑁 peut être écrit en utilisant une fois et une fois seulement chacun des nombres 1, 2, 3, … , 𝑛 dans l’ordre, ces nombres étant utilisés comme opérandes avec les opérateurs +, −,×,/, racine carrée, exponentiation, factorielle (notée !), et les parenthèses ( et ). La concaténation est interdite.
Ainsi, 2011 est de type 𝐽6 puisque 2011 = (1 + 2)!! × 3 − 4! − √56= 720 × 3 − 24 − 125 Démontrer que 2017 est de type 𝐽𝑛 pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 5.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
On s’interdit l’opérateur – unaire de négation. On n’aura pas non plus recours à la racine carrée.
Montrons que 2017 est de type 𝐽5, 𝐽6, 𝐽7, 𝐽8 : 2017 = 1 + 23! / 4 / 5
2017= 1 + (2 × 3! − 4)! / 5! × 6 2017= 1 × 23! / 4 / 5 − 6 + 7
2017= 1 × (2 × 3! − 4)! / 5! × 6 − 7 + 8
Supposons 2017 de type 𝐽𝑛−4 et montrons qu’il est alors de de type 𝐽𝑛 : 2017 = [… ]⏟
𝐽𝑛−4
= [… ]⏟
𝐽𝑛−4
+ [𝑛 − 3] − [𝑛 − 2] − [𝑛 − 1] + 𝑛 ⏟
=0
Par récurrence, 2017 est donc de type 𝐽𝑛 pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 5, ce qu’il fallait démontrer.
