Les intervalles. Un nombre entier naturel est un nombre entier positif (ou nul). L ensemble des nombres entiers naturels est noté N.

Les intervalles

I Quelques ensembles

Depuis la primaire, vous avez travaillé sur plusieurs « types » de nombres : les entiers, les décimaux, les nombres rationnels... Pour facilement les utiliser, en mathématiques, nous nommons leur ensemble.

A Nombres entiers

Un nombre entier naturel est un nombre entier positif (ou nul). L’ensemble des nombres entiers naturels est noté N.

Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou négatif (ou nul). L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z.

Quelques notations :

Tout nombre entier naturel est aussi un nombre entier relatif, on dit que l’ensembleN est inclus dans l’ensembleZ. On note N⊂Z.

Exemple 1.

• 3∈N et donc3∈Z

• −3 /∈N mais −3∈Z

B Nombres réels

B.1 Nombres décimaux et rationnels

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a

10^k où a ∈ Z et k ∈ N. L’ensemble des nombres décimaux se note D.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme p

q avec p ∈ Z et q ∈ N non nul.L’ensemble des nombres rationnels se note Q.

On a alorsZ⊂D et D⊂Q. Exemple 2.

• 0,06 = 6

100 = 6 10² ∈D

• 1 3 ∈/ D

• 3 4 ∈Q

• 2

∈Q

• √ 2 /∈Q

Remarque. Tout nombre décimal a une écriture décimale finie et réciproquement, tout nombre qui a une écriture décimale finie est un nombre décimal.

B.2 Nombres réels

On considère une droite munie d’un repère (O ; I). L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points de cette droite, appelée droite numérique. L’ensemble des nombres réels se note R.

Exemple 3. π et√

2 sont des nombres réels mais qui ne sont pas rationnels.

Remarque. On a N⊂Z⊂D⊂Q⊂R

II Intervalles de R

L’ensemble de tous les nombres réels x tels que 2 ≤ x ≤ 4 peut se représenter sur une droite graduée.

Assez naturellement, on notera l’ensemble de tous ces nombres [2 ;4] et on lit « intervalle 2 ; 4 » . L’ensemble de tous les nombres réels x tels que −2 ≤ x ≤ 7 se note [−2; 7]. On a par exemple 4∈[−2; 7], −1∈[−2; 7] et8 /∈[−2; 7]

Exemple 4.

Remarque. L’ensemble des nombres réels Rest un intervalle qui peut se noter ]− ∞; +∞[.

A Vocabulaire

Définition 1. On dit qu’un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l’intervalle.

On dit qu’il est ouvert dans le cas contraire.

Exemple 5.

• L’intervalle [-2 ;5] est un intervalle fermé, on a −2∈[−2; 5] et5∈[−2; 5]

• L’intervalle ]2; 6[ est un intervalle ouvert car 2 /∈]2; 6[ et6 /∈]2; 6[

• L’intervalle ]−6; +∞[ est aussi un intervalle ouvert

B Intersection et réunion d’intervalles

Définition 2. L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appar- tiennent à Aet à B. On le noteA∩B.

La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. On le note A∪B.

Exemple 6. Dans les cas suivants, déterminer l’intersection et la réunion des intervalles I etJ 1. I = [−1; 3] et J =]0; 4[

2. I =]− ∞;−1]et J = [1; 4]

Solution :

1. Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué.

Les nombres de l’intersection de deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent. Autrement dit, les nombres qui sont colorés en vert ET en rouge.

Ainsi I∩J =]0; 3]

Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l’un des deux ensembles, c’est-à-dire qu’ils sont colorés, en vert OU en rouge OU en vert et rouge.

Ainsi I∪J = [−1; 4[

2. on a

I∩J =∅car les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun et I∪J =]− ∞;−1]∪[1; 4]